发布时间 : 星期三 文章高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全更新完毕开始阅读eb389d57dfccda38376baf1ffc4ffe473368fd02
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1）s?22?32?42?29 (2) s?22?(?3)2?(?4)2?29 222(3) s?(1?2)?(0?3)?(3?4)?67 (4) s?(?2?4)?(1?2)?(3?3)?35.
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s0?22242?(?3)2?52?52 sx?(4?4)2?(?3?0)2?(5?0)2?34 sy?42?(?3?3)2?52?41 sz?42?(?3)2?(5?5)2?5.
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
(?4)2?12?(7?z)2?32?52?(?2?z)2
解得 z?14 9即所求点为M（0，0，
14）. 97. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB|=|AC|=7.且有
222
|AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解：
2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c
?5a?11b?7c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试
uuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuur以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
uuuuruuuruuuur1解：D1A?BA?BD1??c?a
5uuuuruuuruuuur2D2A?BA?BD2??c?a
5uuuuruuuruuuur3D3A?BA?BD3??c?a
5uuuuruuuruuuur4D4A?BA?BD4??c?a.
5uuuur11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设M的投影为M?，则
uuuuruuuur1PrjuOM?OMcos60??4??2.
212. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则
uuurAB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}
解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：
uuuuruuuur（1） PP12在各坐标轴上的投影； （2） PP12的模；
uuuuruuuur（3） PP12的方向余弦； （4） PP12方向的单位向量. uuuur解：（1）ax?PrjxPP12?3, uuuur ay?PrjyPP, 12?1uuuur az?PrjzPP12??2.
uuuur222?(7?4)?(1?0)?(3?5)?14 (2) PP12x(3) cos??uuuur?aPP123 14ay1cos?? uuuur?14PP12z cos??uuuur?aPP12?2. 14uuuurPP31?231212,,}?i?j?k. (4) e0?uuuur?{141414141414PP1214. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方
向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
|R|?22?12?42?21
cos??214, cos??, cos??. 21212115. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.
解：|a|?12?12?12?3
|b|?22?(?3)2?52?38 |c|?(?2)2?(?1)2?22?3
a?3ea, b?38eb, c?3ec.
16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴
上的分向量.
解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k
在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
r17.解：设a?{ax,ay,az}则有
rr?a?i cos?rr?ax(a?1,i?1)
3a?i 求得ax?rrr 设a在xoy面上的投影向量为b则有b?{ax,ay,0}
rr?a?b2ax2?ay2? 则cos?rr? 224a?b2ax?ay2 则ay?1. 2r222 又a?1,则ax?ay?az?1
11 求得ay?? 42r112112}或{,?,?} 从而求得a?{,,?222222uuuuuruuuuur18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M?3MM2，求
uuuur向径OM的坐标.
uuuur解：设向径OM={x, y, z}
uuuuurM1M?{x?2,y?5,z?3} uuuuurMM2?{3?x,?2?y,5?z}uuuuuruuuuur因为，M1M?3MM2
11?x??4?x?2?3(3?x)?1??所以，?y?5?3(?2?y) ? ?y??
4?z?3?3(5?z)???z?3??uuuur111故OM={,?,3}.
44uuur23619. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是,,，求点P的坐标.
777uuur2222解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA|?x?y?(z?12)?49