发布时间 : 星期三 文章高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全更新完毕开始阅读eb389d57dfccda38376baf1ffc4ffe473368fd02
2(x?y?z?1)?F??2?x?0?x3??F?2(x?y?z?1)?2?y?0?y解方程组? 3??2(x?y?z?1)???0?Fz?3?22??z?x?y得x?y?z?1 213. 故所求最短距离为d?2?6315. 抛物面z = x+y被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则
2222
|OP|=x+y+z.
因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z=x2+y2， x+y+z=1
22222
设F（x,y,z）= x+y+z+λ1(z-x-y)+λ2(x+y+z-1)
2
2
?Fx?2x?2?1x??2?0?F?2y?2?y???012?y?解方程组?Fz?2z??1??2?0
?22z?x?y???x?y?z?1得 x?y??1?3, z?2m3 2由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且
2??1?3?2222???OP?x?y?z?2??2m3?9m53.
?2?所以原点到椭圆的最长距离是9?53，最短距离是9?53. 16. 在第I卦限内作椭球面
x2y2z2?2?2?1 2abc的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
x2y2z2解：令F(x,y,z)?2?2?2?1
abc∵Fx?2x2y2z,F?,F?, yza2b2c2∴椭球面上任一点P0(x0,y0,z0)的切平面方程为
2x02y02z0(x?x)?(y?y)?(z?z0)?0. 00222abcxxyyzz即 02?02?02?1.
abca2b2c2切平面在三个坐标轴上的截距分别为,,，因此切平面与三个坐标面所围的四面体
x0y0z0的体积为
1a2b2c2a2b2c2 V?????6x0y0z06x0y0z0a2b2c2x2y2z2即求V?在约束条件2?2?2?1下的最小值，也即求xyz的最大值问题。
6xyzabc?x2y2z2?设 ?(x,y,z)?xyz???2?2?2?1?,
bc?a?2?x???yz??0,?xa2????xz?2?x?0,?yb2解方程组?
2?x??z?xy??0,?c2?x2y2z2?2?2?2?1.bc?a得x?abc,y?,z?. 333故切点为??abc?,,?，此时最小体积为 ?333?a2b2c23V??abc.
abc26???333*
17. 设空间有n个点，坐标为(xi,yi,zi)(i?1,2,L,n),试在xOy面上找一点，使此点与这
n个点的距离的平方和最小。 解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为