发布时间 : 星期一 文章高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全更新完毕开始阅读eb389d57dfccda38376baf1ffc4ffe473368fd02
?x?1?t?解：（1）直线参数方程为?y??1?2t
?z?6t?代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）.
?x??2?2t?（2） 直线参数方程为?y?1?3t
?z?3?2t?代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0 和 ?；
?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?y?3z?8?x?2y?3z?1?（2） 和 ??1???2
4?123??x?1解：（1）两直线的方向向量分别为：
is1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5jk?33={3,4, -1}
3?21ijks2={2,2, -1}×{3,8,1}=22?1={10, -5,10}
381由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为
π. 2?y?3z?8?x?2y?3z?1?(2) 直线的方向向量为s1={4, -12,3},直线??1???2的方程可
4?123??x?1变为??2y?z?2?0,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是
?x?1?0s1?s2s1?s2?6?0.2064 135cos????78?5?49. 求满足下列各组条件的直线方程：
（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线解：（1）可取直线的方向向量为 s={3，-1，2}
故过点（2，-3，4）的直线方程为
xy?3z?1平行. ??2?13x?2y?3z?4 ??3?12（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平
面的交线，于是直线方向向量
ijk2?{?2,3,1}
s?n1?n2?1001?3故过点（0，2，4）的直线方程为
xy?2z?4 ???231（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x?1y?2z?1. ??2?1350. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：
x?3y?4z??和4x-2y-2z=3; ?2?73xyz（2）??和3x-2y+7z=8;
3?27x?2y?2z?3（3）和x+y+z=3. ??31?4（1）
解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}
平面的法向量n={4，-2，-2}，所以
s?n?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0
于是直线与平面平行.
又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4?(?3)?2?(?4)?2?0??4?3.故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3?1?1?1?(?4)?1?0,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线
?x?2y?z?3?0 ??x?y?z?3?0的平面方程.
i1j1k1?i?2j?3k, ?1解：直线的方向向量为1?2取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为1?(x?1)?2(y?2)?3(z?1)?0
即x+2y+3z=0.
52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为2x?3y?z?3??(x?3y?2z?1)?0 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故2?1?3?(?2)?3?3??(1?3?(?2)?2?3?1)?0
解得λ=-4.
故所求平面方程为
2x+15y+7z+7=0
53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即
s=n={1，2，-1}
?x??1?t?
所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z??t?
将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 得t??2 3522333于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点(?,,)
54. 求点（3，-1，2）到直线??x?y?z?1?0的距离.
2x?y?z?4?0?解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量
i即n?s?1j1k?1??3j?3k 12?1故过已知点的平面方程为y+z=1.
?x?y?z?1?0?联立方程组?2x?y?z?4?0
?y?z?1?解得x?1,y??13,z?. 22即(1,?,)为平面与直线的垂足
1322于是点到直线的距离为d?1332(1?3)2?(??1)2?(?2)2?.
22255. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.
解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}
?x?1?t?
所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z?1?2t?
将其代入平面方程得t?1. 3122()2?()2?()2?1 333故垂足为(,,)，且与点（1，2，1）的距离为d?485333即为点到平面的距离.
56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R?12?32?(?2)2?14.
设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)+(y-3)+(z+2)=14
222
即x+y+z-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.
解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知2
2
2
2
2
2
(x?2)2?(y?0)2?(z?3)2(x?4)?(y?6)?(z?6)222?3.
化简得：8x+8y+8z-68x+108y-114z+779=0 即为动点的轨迹方程.
58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：
x2y2a2a2??1; （1）(x?)?y?(); （2）?4922x2z2??1; （4）y2?z?0; （3）
94（5）x?y?0; （6）x?y?0. 解：（1）母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8.
图7-7 图7-8
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