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2020中考数学复习微专题:最值(“胡不归”问题)
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?
BV1V1驿道砂石地AV2C
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 BACBC?的值V2V1V1MNAV2C 【问题分析】 ?VVACBC1??=?BC?1AC?,记k?1, V2V1V1?V2V2?即求BC+kAC的最小值. 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC. BMsinα=ACHACα=kHCNDCH=kAC 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. BMAαHCND 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型. 而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 1.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD?5BD的最小值是_______. 5AEDBC 【分析】本题关键在于处理“sin?ABE5BD”,考虑tanA=2,△ABE三边之比为1:2:5,555,故作DH⊥AB交AB于H点,则DH?BD. 55AAHEDHDEBCB C 问题转化为CD+DH最小值,故C、D、H共线时值最小,此时 CD?DH?CH?BE?45. 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下: EDBC 则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在. AEDBCsinα=αBHDCE55 2.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PB?3PD的最小值等于________. 2DPCAB 【分析】考虑如何构造“33,且sin60°=,故延长AD,作PD”,已知∠A=60° 22PH⊥AD延长线于H点,即可得PH?MH3将问题转化为:求PB+PH最小值. PD, 2DPCAB 当B、P、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角△ABH即可得BH长. MHDPCAB