发布时间 : 星期六 文章点集拓扑 习题与参考答案更新完毕开始阅读ebb73a5e6c85ec3a87c2c5df
注：也可以考虑点２和点３. 16、T3空间一定是T2空间.（ ）
答案：√
理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x,y?X，{y}是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,{y}它们有各自的开邻域U,V使得U?V??，所以X是T2空间. 17、T4空间一定是T3空间.（ ）
答案：√
理由：因为T4空间是正规的T1空间，所以对于T4空间X中的任意点
x和不包含x的闭集A，由于{x}也是一个闭集及X是正规空间，故存在{x},A的开邻域U,V使得U?V??，这说明X是正则空间，因此X是T3空间. 四．名词解释(每题2分) 1．同胚映射
答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚. 2、集合A的内点
答案：设X是一个拓扑空间，A?X.如果A是点x?X的一个邻域，则称点x是集合A的一个内点. 3、集合A的内部
答案：设X是一个拓扑空间，A?X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部. 4．拓扑空间(X,T)的基
答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每
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一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基. 5．闭包
答案：设X是一个拓扑空间，A?X.集合A与集合A的导集d(A)的并A?d(A)称为集合A的闭包. 6、序列
答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射S:Z??X叫做X中的一个序列. 7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、不连通空间
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间. 9、连通子集
答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集. 10、不连通子集
答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集. 11、A 1空间
答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间. 12、A 2空间
答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.
13、可分空间
答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间. 14、T0空间：
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答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间. 15、T1空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间. 16、T2空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.
17、正则空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间. 18、正规空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间. 19、完全正则空间：
答案：设X是一个拓扑空间，如果对于?x?X和X中任何一个不包
含点x的闭集B存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0以及对于任何y?B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间. 五．简答题（每题4分）
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也是连续映射.
答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故
f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (gf)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的
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开集，所以gf:X?Z是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.
答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域
U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集.
6、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓
扑T .
答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.
答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.
13、试说明实数空间R是可分空间.
答案: 因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此Q?R，故实数空间R是可分
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