发布时间 : 星期三 文章2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第2节函数的单调性与最值新人教A版更新完毕开始阅读ec1bec56bdeb19e8b8f67c1cfad6195f302be8cf
第二节 函数的单调性与最值
A级·基础过关 |固根基|
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2)
B.y=-x+1 1
D.y=x+
?1?C.y=?? ?2?
2
xx解析:选A 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上是增函数. 2.如果函数f(x)=ax+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )
?1?A.?-,+∞? ?4??1?C.?-,0? ?4?
增;
?1?B.?-,+∞? ?4??1?D.?-,0? ?4?
解析:选D 当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上单调递增,故在(-∞,4)上单调递
1
当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,
a因为f(x)在(-∞,4)上单调递增, 11
所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0.
a4
?1?综上,实数a的取值范围是?-,0?.
?4?
3.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x?1?-1) ?12?A.?,? ?33??12?C.?,? ?23? ?12?B.?,? ?33??12?D.?,? ?23? 1??解析:选D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1) 所以0≤2x-1<,解得≤x<. 323 4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π), - 1 - f(-3)的大小关系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π) 5.函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0 ?1?A.?0,? ?2? ?1?C.(-∞,0)∪?,+∞? ?2? B.[a,1] D.[a,a+1 ] ?1??1?解析:选B 由图象,知f(x)在(-∞,0)和?,+∞?上单调递减,而在?0,?上单调递 ?2??2? 增. 又因为当0 2?2? 6.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a A.-1 C.6 B.1 D.12 2 解析:选C 由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2; 当1 因为f(x)=x-2,f(x)=x-2在定义域内都为增函数,且f(1) log1x,x≥1,?? 7.函数f(x)=?2的值域为________. ??2x,x<1 - 2 - 3 3 3 解析:当x≥1时,log1x≤0;当x<1时,0<2<2,故f(x)的值域为(0,2)∪(-∞,0] 2=(-∞,2). 答案:(-∞,2) 8.函数f(x)=x+2x-1 的值域为________. 1 解析:由2x-1≥0,得x≥, 2 x?1?∴函数的定义域为?,+∞?. ?2? ?1?又函数f(x)=x+2x-1在?,+∞?上单调递增, ?2? 1?1?1 ∴当x=时,函数取最小值f??=, 2?2?2 ?1?∴函数f(x)的值域为?,+∞?. ?2??1?答案:?,+∞? ?2? 9.已知f(x)= xx-a(x≠a). (1)若a=-2,证明:f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解:(1)证明:任取x1 x22(x1-x2)-=. x1+2x2+2(x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) x1 a(x2-x1) . x1-ax2-a(x1-a)(x2-a) -= x1x2 ∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]. 10.(2019届福建师大附中模拟)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件: ①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab); ②当x>1时,f(x)<0; ③f(2)=-1. (1)求f(1)的值; - 3 - (2)用单调性的定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数; (3)求满足f(3x-1)>2的x的取值集合. 解:(1)由f(a)+f(b)=f(ab),得f(1)+f(1)=f(1),则f(1)=0. (2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1 x∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (3)∵f(2)=-1,∴f(4)=f(2)+f(2)=-2, ?x2??x1??x2??x1? x2x1 ?x2??1? ?1??1?又f(4)+f??=f(1)=0,∴f??=2. ?4??4? 又f(x)的定义域为(0,+∞),且在其上是减函数, 1??3x-1<,4解得1 312 ??3x-1>0, ?15?故满足要求的x的取值集合为?,?. ?312? B级·素养提升 |练能力| 11.设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x在R上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 xx3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3 解析:选A 若函数f(x)=a在R上为减函数,则有00,即a<2,所以“函数f(x)=a在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x在R上是增函数”的充分不必要条件,故选A. 12.已知在函数f(x)=lg(a-b)+x中,常数a,b满足a>1>b>0,且a=b+1,那么f(x)>1的解集为( ) A.(0,1) C.(1,10) xxxx3 xB.(1,+∞) D.(10,+∞) ?a?解析:选B 由a-b>0,a>1>b>0,得??>1,解得x>0,所以函数f(x)的定义域为(0, ?b? +∞).因为a>1>b>0,所以y=a单调递增,y=-b单调递增,所以t=a-b单调递增.又 xxxxxy=lg t单调递增,所以f(x)=lg(ax-bx)+x为(0,+∞)上的增函数.而f(1)=lg(a-b) +1=lg 1+1=1,所以当x>1时,f(x)>1,故f(x)>1的解集为(1,+∞).故选B. - 4 -