发布时间 : 星期日 文章2021高考数学一轮复习课后限时集训54直线与椭圆理更新完毕开始阅读ecd66ce06d1aff00bed5b9f3f90f76c661374cae
课后限时集训54
直线与椭圆 建议用时：45分钟
一、选择题
x2y2
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
m3
A．(1，＋∞) C．(3，＋∞)
B．(1,3)∪(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)
y＝x＋2，??22
B [由?xy＋＝1，??m3
得(3＋m)x＋4mx＋m＝0，
2
?3＋m≠0，?
由题意可知?2
??Δ＝4m－4m??m≠－3，
解得?
??m＜0或m＞1，
3＋m＞0，
又m＞0，且m≠3，
∴m＞1且m≠3.故选B.]
2．(2019·枣庄模拟)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B54两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
4A. 35C. 4
5B． 310D．
3
x2y2
B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立
xy??＋＝1，?54??y＝2x－2，
22
?54? 解得交点坐标为(0，－2)，?，?，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点
?33?
4?5411?的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×?－2－?＝.] 3?3322?
3．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y＝1
2
x2
B．＋＝1
33
x2y2
C.＋＝1 43
x2y2
D．＋＝1
54
x2y2
x2y2
C [设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭
abb232222222
圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b＝a－c，所以a＝4，b＝a－c＝4－1＝3，
a2
椭圆的方程为＋＝1.]
43
x2y2
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标
ab是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
1A. 2C.3 2
B．D．
2 25 5
C [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMb2b21
＝－2xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得2＝，e＝aka4
2
2
1－??＝
?b?2
?a?
3
，故选C.] 2
πxy5．倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，
4ab→→
且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )
A.3 22 2
B．
2 33 3
2
2
C.D．
xy??2＋2＝1，
B [由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得?ab??y＝x－c，
2
2
2
4
∴(b2
＋a)y＋2bcy－b＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，
??
y)，B(x，y)，则?－byy＝??a＋b，
1
2
2
4
12
2
2
－2bcy1＋y2＝22，a＋b2
??
∴－y＝2y，可得?－b－2y＝，??a＋b1
2
4
2
2
22－2bc－y2＝22，
a＋b2
→→
又AF＝2FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，
14c2∴＝2，故选B.] 2，∴e＝2a＋b3
2
二、填空题
6．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，
43则
1＋等于________． |AF||BF|
4
[由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝3(x＋1)． 31
x2y2
??y＝3x＋1，由?x2y2
＋＝1，??43
82
得5x＋8x＝0，∴x＝0或－.
5
33??8
∴A(0，3)，B?－，－?.
5??56
又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
5∴
14＋＝.] |AF||BF|31
7．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最
43大时，△FAB的面积是________．
3 [如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－
|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋
43
x2y2
x2y2
311
＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2
222＝3.]
x2y2
8．椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(xab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
3－1 [直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，
2c2c所以该椭圆的离心率e＝＝＝3－1.]
2ac＋3c三、解答题
12
9.已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对
22称，求实数m的取值范围．
1
[解] 由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
x2
m??2＋y＝1，由?1
y＝－??mx＋b2
x2
消去y，得
?1＋12?x2－2bx＋b2－1＝0. ?2m?m??
1x422
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b＋2＋2＞0.
m2m①
2
mb?1m＋2?2mb将线段AB中点?2，2?代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－2.②
22m?m＋2m＋2?
由①②得m＜－
66
或m＞. 33
22
故m的取值范围为?－∞，－
??6??6??∪?，＋∞?. 3??3?
x2y23
10．(2019·合肥调研)已知椭圆C：2＋2(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别
ab2
是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
[解] (1)由离心率为
3c3
得，＝，① 2a2
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2.②
∵a＝b＋c③，联立①②③解得，a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4
(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
2
2
2
x2
2