发布时间 : 星期日 文章2021高考数学一轮复习课后限时集训54直线与椭圆理更新完毕开始阅读ecd66ce06d1aff00bed5b9f3f90f76c661374cae
课后限时集训54
直线与椭圆 建议用时:45分钟
一、选择题
x2y2
1.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是( )
m3
A.(1,+∞) C.(3,+∞)
B.(1,3)∪(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
y=x+2,??22
B [由?xy+=1,??m3
得(3+m)x+4mx+m=0,
2
?3+m≠0,?
由题意可知?2
??Δ=4m-4m??m≠-3,
解得?
??m<0或m>1,
3+m>0,
又m>0,且m≠3,
∴m>1且m≠3.故选B.]
2.(2019·枣庄模拟)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B54两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
4A. 35C. 4
5B. 310D.
3
x2y2
B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立
xy??+=1,?54??y=2x-2,
22
?54? 解得交点坐标为(0,-2),?,?,不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点
?33?
4?5411?的纵坐标yB=,∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×?-2-?=.] 3?3322?
3.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
A.+y=1
2
x2
B.+=1
33
x2y2
C.+=1 43
x2y2
D.+=1
54
x2y2
x2y2
C [设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭
abb232222222
圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b=a-c,所以a=4,b=a-c=4-1=3,
a2
椭圆的方程为+=1.]
43
x2y2
x2y2
4.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标
ab是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
1A. 2C.3 2
B.D.
2 25 5
C [设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yMb2b21
=-2xM,代入k=1,M(-4,1),解得2=,e=aka4
2
2
1-??=
?b?2
?a?
3
,故选C.] 2
πxy5.倾斜角为的直线经过椭圆2+2=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,
4ab→→
且AF=2FB,则该椭圆的离心率为( )
A.3 22 2
B.
2 33 3
2
2
C.D.
xy??2+2=1,
B [由题意可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得?ab??y=x-c,
2
2
2
4
∴(b2
+a)y+2bcy-b=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,
??
y),B(x,y),则?-byy=??a+b,
1
2
2
4
12
2
2
-2bcy1+y2=22,a+b2
??
∴-y=2y,可得?-b-2y=,??a+b1
2
4
2
2
22-2bc-y2=22,
a+b2
→→
又AF=2FB,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),
14c2∴=2,故选B.] 2,∴e=2a+b3
2
二、填空题
6.过椭圆C:+=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A,B两点,
43则
1+等于________. |AF||BF|
4
[由题意可知F(-1,0),故l的方程为y=3(x+1). 31
x2y2
??y=3x+1,由?x2y2
+=1,??43
82
得5x+8x=0,∴x=0或-.
5
33??8
∴A(0,3),B?-,-?.
5??56
又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=,
5∴
14+=.] |AF||BF|31
7.已知椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,当△FAB的周长最
43大时,△FAB的面积是________.
3 [如图,设椭圆的右焦点为E,连接AE,BE.由椭圆的定义得,△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE|-|BE|.∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,∴|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-
|AE|-|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号,此时直线x=m=c=1,把x=1代入椭圆+
43
x2y2
x2y2
311
=1得y=±,∴|AB|=3.∴当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是×3×|EF|=×3×2
222=3.]
x2y2
8.椭圆Γ:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(xab+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
3-1 [直线y=3(x+c)过点F1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=3c,
2c2c所以该椭圆的离心率e===3-1.]
2ac+3c三、解答题
12
9.已知椭圆+y=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对
22称,求实数m的取值范围.
1
[解] 由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.
x2
m??2+y=1,由?1
y=-??mx+b2
x2
消去y,得
?1+12?x2-2bx+b2-1=0. ?2m?m??
1x422
因为直线y=-x+b与椭圆+y=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b+2+2>0.
m2m①
2
mb?1m+2?2mb将线段AB中点?2,2?代入直线方程y=mx+,解得b=-2.②
22m?m+2m+2?
由①②得m<-
66
或m>. 33
22
故m的取值范围为?-∞,-
??6??6??∪?,+∞?. 3??3?
x2y23
10.(2019·合肥调研)已知椭圆C:2+2(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别
ab2
是A1,A2,上顶点为B(0,b),△A1A2B的面积等于2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点Q(1,0),P(4,m),直线PA1,PA2分别交椭圆C于点M,N,证明:M,Q,N三点共线.
[解] (1)由离心率为
3c3
得,=,① 2a2
由△A1A2B的面积为2得,ab=2.②
∵a=b+c③,联立①②③解得,a=2,b=1, ∴椭圆C的方程为+y=1. 4
(2)记点M,N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2).
2
2
2
x2
2