发布时间 : 星期日 文章2014高考数学一轮汇总训练《函数的奇偶性与周期性》理 新人教A版更新完毕开始阅读ece7ba2c0740be1e640e9a10
第四节 函数的奇偶性与周期性
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
[归纳·知识整合]
1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于y轴对称 念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，福建T7等． 2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东T8等. 奇函数 关于原点对称 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x＋1.
3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
1
2
提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
2．周期性 (1)周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4.若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？
提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ) ①f(x)＝2x＋3x； ②f(x)＝x－2x；
4
2
3
x2＋13③f(x)＝；④f(x)＝x＋1.
xA．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．
2．(2013·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：选A ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－
x)＝－g(x)．
令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，
F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|
＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)． 故F(x)为偶函数．即f(x)＋|g(x)|是偶函数．
?5?3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f?－?＝( )
?2?
2
1A．－ 21C. 4
1B．－ 41D. 2
解析：选A ∵f(x)是周期为2的奇函数，
?5??5??5?∴f?－?＝－f??＝－f?－2? ?2??2??2?
1?1?1?1?＝－f??＝－2××?1－?＝－. 2?2?2?2?
4．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析：f(x)＝x＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－数的图象关于y轴对称，所以－
答案：4
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足
2
a－4
2
，因为偶函
a－4
2
＝0，解得a＝4.
f(x)>0的x的取值范围是________．
解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x， ∴当x∈(0,1)时，f(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0. 又∵函数f(x)为奇函数，
∴当x∈(－1,0)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)时，
f(x)<0.
∴满足f(x)>0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝ 3－x＋ x－3； 4－x(2)f(x)＝；
|x＋3|－3
222 3
(3)f(x)＝(x＋1)
1－x. 1＋x2
??3－x≥0，
[自主解答] (1)由?2
?x－3≥0，?
得x＝－3或x＝3.
∴函数f(x)的定义域为{－3，3}． 又∵对任意的x∈{－3，3}， －x∈{－3，3}，
且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0. ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
?4－x≥0，?
(2)∵?
??|x＋3|≠3，
2
∴－2≤x≤2且x≠0.
∴函数f(x)的定义域关于原点对称． 又∵x＋3>0，
4－x4－x∴f(x)＝＝. x＋3－3x4－－x又f(－x)＝－x2
2
2
，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数． 1－x??≥0，1＋x(3)由???1＋x≠0，
得－1 ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 若将本例(1)改为“f(x)＝ 3－2x＋2x－3”，试判断其奇偶性． ?3? 解：∵函数f(x)＝ 3－2x＋2x－3的定义域为??，不关于坐标原点对称， ?2? ∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． ————— —————————————— 判断函数奇偶性的方法 (1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也 4