发布时间 : 星期日 文章[名师一号]2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练29 等差数列及其前n项和 文 北师大版更新完毕开始阅读ecea4ca1a8956bec0975e3f2
计时双基练二十九 等差数列及其前n项和
A组 基础必做
1．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是( )
A．13 C．52
解析 ∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24， ∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，
13?a1＋a13?13?a4＋a10?13×4
∴S13＝＝＝＝26，故选B。
222答案 B
2．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为( ) A．8 C．10
解析 由Sn－Sn－3＝51得，
B．9 D．11 B．26 D．156
an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，
又a2＝3，Sn＝解得n＝10。 答案 C
3．已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝( ) A．18 C．21
B．20 D．32
n?a2＋an－1?
2
＝100，
解析 因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21。故选C。
答案 C
4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝4，则的值为( ) 9
A. 45C. 3
3B. 2D．4
S4S2S6S4
解析 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得
S4S2S4－S2
＝3，S2
1
S69
则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝。
S44
答案 A
5．(2015·洛阳统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 C．12
B．7 D．13
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，∴等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，
a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12。
答案 C
5
6．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最
7大值的序号n的值为( )
A．7 C．7或8
B．8 D．8或9
55
解析 由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)
7740－5n＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大
7值时，n＝7或8，故选C。
答案 C
1
7．(2015·金华十校联考)在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11
2等于________。
11?a1＋a11?11
解析 S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，
222解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132。
答案 132
8．设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，后6项的和为180(n>6)，此数列的项数n＝________。
解析 由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36， ①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180， ②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36。又Sn＝
n?a1＋an?
2
＝324，∴18n＝324，∴n＝18。
答案 18
2
9．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________。
解析 由题意知当d<0时，Sn存在最大值， ∵a1＝7>0，∴数列{an}中所有非负项的和最大。 又∵当且仅当n＝8时，Sn取最大值，
??a8>0，∴???a9<0。
??7＋7d>0，
∴???7＋8d<0，
7
解得－1 8 7??答案 ?－1，－? 8?? 1213* 10．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N，所有项an>0，且Sn＝an＋an－。 424(1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式。 1213 解 (1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋a1－， 424解得a1＝3或a1＝－1(舍去)。 当n≥2时， 2 an＝Sn－Sn－1＝(a2n＋2an－3)－(an－1＋2an－1－3)。 1 414 ∴4an＝an－an－1＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)。 ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列。 (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1。 11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22。 (1)求通项公式an； (2)求Sn的最小值； (3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝ 22 Snn＋c，求非零常数c。 解 (1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22。 又a3·a4＝117， ∴a3，a4是方程x－22x＋117＝0的两实根， 又公差d>0， ∴a3 2 3 ??a1＋2d＝9，∴? ?a1＋3d＝13，? ??a1＝1， ∴? ?d＝4。? ∴通项公式an＝4n－3。 (2)由(1)知a1＝1，d＝4， ∴Sn＝na1＋ n?n－1? 2 ?1?212 ×d＝2n－n＝2?n－?－， ?4?8 Sn2 ∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1。 2n－n(3)由(2)知Sn＝2n－n，∴bn＝＝， n＋cn＋c2 ∴b1＝ 1615，b2＝，b3＝。 1＋c2＋c3＋c∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3， 即 61152×2＝＋，∴2c＋c＝0， 2＋c1＋c3＋c11∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－。 22 B组 培优演练 1．(2015·甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17>0，S18<0，则，，…， S1S2 a1a2 S15 中最大的项为( ) a15 A. C. S7a7S9a9 B. D. S8a8 S10 a10 17?a1＋a17?18?a1＋a18? 解析 因为{an}是等差数列，所以S17＝＝17a9>0，a9>0，S18＝22＝9(a9＋a10)<0，a10<0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大，故选C。 答案 C S9 a9 An7n＋45an2．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为 Bnn＋3bn整数的正整数n的个数是________。 解析 由等差数列前n项和的性质知，＝anA2n－114n＋387n＋1912 ＝＝＝7＋，故当nbnB2n－12n＋2n＋1n＋1 ＝1,2,3,5,11时，为整数，故使得为整数的正整数n的个数是5。 anbnanbn 4 答案 5 3．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a1 ＝________。 解析 设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝n＋?a1－?n， 2?2?∴Sn＝ 2 d2 ? d? d?d2? n＋?a1－?n，数列{Sn}是等差数列，则Sn是关于n的一次函数(或者 ?2? 是常数)，则a1－＝0, Sn＝ 211 ＝0(舍去)或d＝，故a1＝。 24 1 答案 4 ddn，从而数列{Sn}的公差是 2 d2 ，那么有 d2 ＝d，d4．(2015·安徽宿州调研)已知函数f(x)＝x－2(n＋1)x＋n＋5n－7。 (1)设函数y＝f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn。 解 (1)证明：∵f(x)＝x－2(n＋1)x＋n＋5n－7 ＝[x－(n＋1)]＋3n－8， ∴an＝3n－8， ∵an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3， ∴数列{an}为等差数列。 (2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|， ∴当1≤n≤2时，bn＝8－3n， 2 2 2 22 n?b1＋bn?n[5＋?8－3n?] Sn＝b1＋…＋bn＝＝ 2 2 13n－3n＝； 2 当n≥3时，bn＝3n－8， 2 Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8) ?n－2?[1＋?3n－8?]3n－13n＋28＝7＋＝。 22 2 ?? ∴S＝?3n－13n＋28 ，n≥3。??2 n2 13n－3n，1≤n≤2，2 2 5