发布时间 : 星期四 文章均值不等式的论文更新完毕开始阅读ed28641e52d380eb62946d4b
安徽理工大学毕业论文
解 设圆柱底面半径为r，高为h，则2h+4r= l，即h?2r?33l 2?r?r?h??l? 所以 V??rh??r?r?h????????，故选 A.
3??6??21.3.3 升幂
例3 设x??0,???2，求y?sinx?cosx的最大值. ??2? 解 因为x??0,???，所以y?sin2x?cosx≥0，所以??2?312?12?2sinx?sinx?cosx??14?1?2 所y2?sin4x?cos2x?4?sin2x?sin2x?cos2x??4?2??23?2???27??以y?1223232当且仅当sinx?cosx即tanx=2时等号成立，故ymax?.
2991.3.4 整体代换
例4 已知x,y?R?，且x+2y=1，求证：
11??3?22 xy证明：因为x,y?R?，x+2y=1，所以
?11?2yx112yx2yx?，即???x?2y?????3???3?2??3?22. 当且仅当xyxyxyxyxy??x?2?1，y?1?1.3.5 平衡系数
例5 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边
长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积!
解 设容器底面短边长为x 米，则另一边长为x+0.5 米，并设容积为y m，其中容器的高为
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2时等号成立. 214.8?4x?4?x?0.5??3.2?2x，0 4从而 11?3x??2x?1???8?5x??y?x?x?0.5??3.2?2x???3x??2x?1??8?5x?????1.8 1515?3? 9 3安徽理工大学毕业论文 当且仅当3x?2x?1?8?5x，即x=1时取等号，这时3.2?2x?3.2?2?1?1.2，所以，高为1.2米时容积最大，最大容积为1.8m. 3 1.3.6 分离取倒数 例6 求函数y?x?1?x??1?的最大值. ?x?5??x?2? 解 y?x?1x?11 ??24x?5x?2?????x?1??5?x?1??4?x?1???5x?114??x?1???5?2yx?1 因为x??1，所以x?1?0 所以 ?x?1??4?5?9 x?1141，当且仅当x?1?，即x=1时取等号，故ymax? 99x?11.3.7 换元 所以y?例7 求函数y?解 令t?x?2的最大值. 2x?5t2t2?1x?2，则x?t2?2?t?0?，y?12t?1t?122t?1t??t?0? 当t=0时，y=0; 当t>0时，y?122，当且仅当2t?，即t?时取等号. t24所以当x??32时函数取最大值. 24总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三等”，同时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式. 1.4 利用均值不等式求最值的技巧 均值不等式 a?b?ab ( a > 0 , b > 0 , 当且仅当a = b时等号成立) 是一个重要的不等2式,利用它可以求解函数最值问题. 对于有些题目,可以直接利用公式求解. 但有些题目必须进行必要的变形才能利用,下面是一些常用的变形技巧. 1.5.1 配凑 1) 凑系数 例1 当0 < x < 4 时,求ymax = x (8 - 2 x) . 解析 由0 < x < 4 , 有8 - 2 x > 0 , 利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 10 安徽理工大学毕业论文 题为2 个式子的积的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 为定值,故只需将y = x (8 - 2 x) 凑上一个系数即可. 11?2x?8?2x?y?x?8?2x???2x8?2x???????8 ,当且仅当2 x = 8 - 2 x 即x = 2 时取等??22?2?号,所以当x = 2时, y = x (8 - 2 x) 的最大值为8. 点评 本题无法直接运用均值不等式求解,但凑上系数后即可得到和为定值, 就可利用均值不等式求得最大值. 2) 凑项 215 ,求函数f?x??4x?2?的最大值. 44x?51解析 由已知4 x - 5 < 0 ,首先调整符号,因为?4x?2??不是定值,故需对4 x - 2 进 4x?55行凑项得到定值. 因为x?,所以5 - 4 x > 0 , 4例2 已知x?1??f?x????5?4x???3??25?4x??即x = 1 时等号成立. ?5?4x??11?3??2?3?1.当且仅当5?4x?5?4x5?4x点评 本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值. 3) 分离 x2?7x?10例3 求y??x??1?的值域. x?1解析 本题看似无法运用均值不等式, 如将分子配方凑出( x + 1) ,再将其分离. x?1??y?2?5?x?1??44??x?1???5. x?1x?1当x + 1 > 0 ,即x > -1 时,y?2?x?1??4?5?9 (当且仅当x = 1 时取“ = ”号) . x?14?1(当且仅当x = - 3 时取“= ”号) . x?1当x + 1 < 0 ,即x < - 1 时,y?5?2?x?1??故所求的值域为( - ∞,1 ] ∪[9 , + ∞) . 点评 分式函数求最值,通常化成y?mg?x??恒负) 的形式,然后运用均值不等式来求. 链接练习 1. 某公司一年购买某种货物400 t ,每次都购买x t ,运费为4 万元/ 次,一年的总存储费用为4 x 万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = ＿t . 11 A?B ( A > 0 , m > 0 , g ( x) 恒正或g?x?安徽理工大学毕业论文 2. 若a、b、c > 0 且a( a + b + c) + bc =4?23 ,则2 a + b + c的最小值为( ) . A 3?1 ; B 3?1; C 23?2 ; D 23?2 x2y23. 已知F1 、F2 为双曲线2?2?1?a?0,b?0且a?b?的2 个焦点, P 为双曲线右支上 ab异于顶点的任意一点, O为坐标原点. 下面4 个命题中真命题的代号是＿(写出所有真命题的代号) . A ?PF1F2 的内切圆的圆心必在直线x = a 上; B ?PF1F2 的内切圆的圆心必在直线x = b 上; C ?PF1F2 的内切圆的圆心必在直线O P 上; D ?PF1F2 的内切圆必通过点( a ,0) . 4. 设a > 0 , b> 0 ,则下列不等式中不恒成立的是( ) . A ?a?b??22?11????4 ; B a3?b3?2ab2 ; ?ab?a?b?a?b 22C a?b?2?2a?2b; D5. 已知平面上点P???x,y?|?x?2cos????y?2sin???16.??R ,求满足条件的点P ?在平面上所组成的图形面积. 链接练习提示及答案 1. 20. (提示:可知共购买 4001600?4x取最小值时x 的值,由均值不等式, 次,所求即y?xxy?160016001600?4x ,即x = 20 时取到. ) ?4x?2?4x?160 ,当且仅当xxx2. D. 提示:由a( a + b + c) + bc = 4?23 ,得( a + b) ( a + c) = 4?23 ,则2a?b?c?(a?b)?(a?c)?2(a?b)(a?c)?23. A. 提示: 如图3 , 设?PF1F2 ?3?1 . ? 12