发布时间 : 星期日 文章浙江省宁波市2021届新高考数学三模试卷含解析更新完毕开始阅读ed5b6f07b8f3f90f76c66137ee06eff9aff8497c
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x?2y?0到?0,1?处时，z取得最小值为2. 故答案为：2
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，?4，?1，0，2，则该组数据的标准差为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：?C)依次为8，?4，?1，0，2， 平均数为：
1?8?4?1?0?2??1， 5?该组数据的方差为：
1S2??(8?1)2?(?4?1)2?(?1?1)2?(0?1)2?(2?1)2????16， 5?该组数据的标准差为1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面?、?，有下列四个命题：①若m//?且n//?，则m//n；②若m??且m?n，则n//?；③若m??且m//?，则???；④若n??，且m??，则m?n.其中正确命题的序号为______.
【答案】③④ 【解析】 【分析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断． 【详解】
①若m//?且n//?，m,n的位置关系是平行、相交或异面，①错； ②若m??且m?n，则n//?或者n??，②错；
③若m//?，设过m的平面与?交于直线n，则m//n，又m??，则n??，∴???，③正确； ④若n??，且m??，由线面垂直的定义知m?n，④正确． 故答案为：③④． 【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．己知圆F1：(x+1)1 +y1= r1(1≤r≤3)，圆F1：(x-1)1+y1= (4-r)1． （1）证明：圆F1与圆F1有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（1）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k1，直线QN的斜率为k1，是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
x2y2【答案】（1）见解析，??1（1）存在，m??2
43【解析】 【分析】
（1）求出圆F1和圆F2的圆心和半径，通过圆F1与圆F1有公共点求出F1F2的范围，从而根据
PF1?PF2?4可得P点的轨迹，进而求出方程；
（1）过F2点且斜率为k的直线方程为y?k(x?1)，设M?x1,y1?，N?x2,y2?，联立直线方程和椭圆方
y2y1(6m?24)k2程，根据韦达定理以及k1?，k1?，可得k?k1?k2??，根据其为
x2?mx1?m4(m?1)2k2?3m2?12定值，则有3m2?12?0，进而可得结果. 【详解】
（1）因为F1(?1,0)，F2(1,0)，所以F1F2?2，
因为圆F1的半径为r，圆F2的半径为4?r，
又因为1≤r≤3，所以|4?r?r|?2，即|4?r?r|?F1F2?|4?r?r|， 所以圆F1与圆F2有公共点，
设公共点为P，因此PF1?PF2?4，所以P点的轨迹E是以F1(?1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆， 所以2a?4，c?1?a?2，b?3，
x2y2即轨迹E的方程为??1；
43（1）过F2点且斜率为k的直线方程为y?k(x?1)，设M?x1,y1?，N?x2,y2?
?x2y2?1??2222由?4消去y得到?4k?3?x?8kx?4k?12?0， 3?y?k(x?1)?8k24k2?12则x1?x2?，x1x2?， ① 224k?34k?3因为k1?y2y1k?，1，
x2?mx1?m?y1?k?x1?1?k?x2?1??y2?kk?k?k??k?所以?1???? 2?x?mx?mx?mx?m22?1??1??x?1x2?1?2?x1?1??x2?m???x2?1??x1?m??k2?1??k ?x?mx?mx?mx?m?1??2?2?1??k22x1x2?(m?1)?x1?x2??2m，
x1x2?m?x1?x2??m2(6m?24)k2 将①式代入整理得k?k1?k2??4(m?1)2k2?3m2?12因为m?0，
所以当3m2?12?0时，即m??2时，k?k1?k2???1. 即存在实数m??2使得k?k1?k2???1. 【点睛】
本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.
218．直线l与抛物线C:y?2px(p?0)相交于P，Q两点，且OP?OQ，若P，Q到x轴距离的乘
积为16．
（1）求C的方程；
（2）设点F为抛物线C的焦点，当?PFQ面积最小时，求直线l的方程． 【答案】（1）y?4x；（2）x?4 【解析】 【分析】
（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得y1y2??16.利用向量的数量积坐标运算，将OP?OQ转
2uuuruuur化为OP?OQ?x1x2?y1y2?0.再利用两点均在抛物线上，即可求得p的值，从而求出抛物线的方程；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l恒过定点M?4,0?，将?PFQ面积用参数t表示，求出其最值，并得出此时的直线方程. 【详解】
解：（1）由题设P?x1,y1?，Q?x2,y2?
因为P，Q到x轴的距离的积为16，所以y1y2??16，
uuuruuur又因为OP?OQ，?OP?OQ?x1x2?y1y2?0，
2y12y2256?p?2 ?x1x2?16???2，2p2p4p所以抛物线C的方程为y?4x．
（2）因为直线l与抛物线两个公共点，所以l的斜率不为0， 所以设lPQ:x?ty?m
2?x?ty?m2联立?2，得y?4ty?4m?0，
?y?4x即y1?y2?4t，y1y2??16??4m，
?m?4
即直线l恒过定点M?4,0?， 所以S?PFQ?13|FM|y1?y2?16t2?64， 22当t?0时，?PFQ面积取得最小值12，此时x?4. 【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.