发布时间 : 星期六 文章(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)更新完毕开始阅读eda7ad884228915f804d2b160b4e767f5acf80b6
2、(西城09年一模)已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外一点,且
?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,
BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系.
图1 图2 图3
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时
Q? ; L(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM?DN时,猜想(I)问的两个结论还
成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 若AN=x,则Q= (用x、L表示).
- 9 -
参考答案与提示 一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________. 解:延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD ABDAEC例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. 解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG=2EF,连BG,EG, 显然BG=FC, 在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG=EF 在△BEG中,由三角形性质知 EG 例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE. FBDCABDEC 解:延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG, 显然DG=AC, ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC,故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中, - 10 - BD=AC=DG,AD=AD, ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADG 故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD平分∠BAE 应用: 1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 ?ABCRt?ABD和等腰 Rt?ACE,?BAD??CAE?90?,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AM与DE的位置关系及数量关系. (1)如图① 当?ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 , 线段AM与DE的数量关系是 ; (2)将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由. ? 解:(1)ED?2AM,AM?ED; 证明:延长AM到G,使MG?AM,连BG,则ABGC是平行四边形 ∴AC?BG,?ABG??BAC?180? 又∵?DAE??BAC?180? ∴?ABG??DAE 再证:?DAE??ABG ∴DE?2AM,?BAG??EDA 延长MN交DE于H ∵?BAG??DAH?90? ∴?HDA??DAH?90? ∴AM?ED (2)结论仍然成立. 证明:如图,延长CA至F,使AC?FA,FA交DE于点P,并连接BF ∵DA?BA,EA?AF - 11 - D N H E A B M G C ∴?BAF?90???DAF??EAD ∵在?FAB和?EAD中 ?FA?AE???BAF??EAD ?BA?DA?D F P A N E ∴?FAB??EAD(SAS) ∴BF?DE,?F??AEN ∴?FPD??F??APE??AEN?90? ∴FB?DE 又∵CA?AF,CM?MB ∴AM//FB,且AM?∴AM?DE,AM? 二、截长补短 1、如图,?ABC中,AB=2AC,AD平分?BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC 解:(截长法)在AB上取中点F,连FD △ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知 DF⊥AB,故∠AFD=90° △ADF≌△ADC(SAS) ∠ACD=∠AFD=90°即:CD⊥AC B M C 1FB 21DE 2 2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,AD+BC EAD求证;AB= - 12 - BC