发布时间 : 星期二 文章(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)更新完毕开始阅读eda7ad884228915f804d2b160b4e767f5acf80b6
解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE △ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC
03、如图，已知在△ABC内，?BAC?60，?C?40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，
0BQ分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP 在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40° 从而∠BDP＝40°＝∠ACP
△ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC
又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC BD＝BP
从而BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC， 求证： ?A??C?180
解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD △BDF≌△BDC（SAS）
故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC 又AD＝CD
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BAD0ABQPCC故在等腰△BFD中 ∠DFB＝∠DAF
故有∠BAD+∠BCD＝180°
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
A1P2BDC
解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD △ABP≌△AFP（SAS） 故BP＝PF 由三角形性质知
PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC 应用：
分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 解：有BC?AD?AE 连接AC，过E作EF//BC并AC于F点 则可证?AEF为等边三角形 即AE?EF，?AEF??AFE?60? ∴?CFE?120? 又∵AD//BC，?B?60? ∴?BAD?120? B - 14 -
A D E F C 又∵?DEC?60? ∴?AED??FEC 在?ADE与?FCE中 A D ?EAD??CFE，AE?EF，?AED??FEC ∴?ADE??FCE ∴AD?FC ∴BC?AD?AE 形的性质解决。
三、平移变换
E B C 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.
解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有
△FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE
在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA
例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
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∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE。
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC
A证明?(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE均为角平分线,
则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;
B∠AOC=120度.
在AC上截取线段AF=AE,连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;
∠AOF=∠AOE=60度.
则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD
DC+AE=CF+AF=AC.
度, EODC2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC DG垂直平分BC，故BD＝DC
由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有 ED＝DF
故RT△DBE≌RT△DFC（HL） 故有BE＝CF。
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AEBGCFD