发布时间 : 星期二 文章精品-新人教版2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2_2更新完毕开始阅读edf26f09b8f3f90f76c66137ee06eff9aff8499f
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
a2a3(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
aa32 x (－∞，)a3 a30 (，)－单调递减aa32 a20 (，＋∞) ＋单调递增a2f′(x)f(x) ＋单调递增 极大值 a3极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝；
当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝0.
a3a327a2a2 (2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
aa23a2 x (－∞，) a20 (，)－单调递减aa23 a30 (，＋∞) ＋单调递增a3f′(x)f(x) ＋单调递增 极大值 a2极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝0；
当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝.a2a3a3a327 综上，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值.
含参数函数极值的求法
a3a327a2a2a3a327求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看
f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
解：由f′(x)＝1－＝ax－a(x>0)知，
xx (1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值．
探究点3 已知函数的极值求参数
已知函数f(x)＝
2x2－kx＋k(k∈R)．
ex(1)k为何值时，函数f(x)无极值；
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.
【解】 (1)因为f(x)＝所以f′(x)＝
2x2－kx＋k，ex－2x2＋（k＋4）x－2k.ex 要使f(x)无极值，只需让f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可．
因为e>0，所以f′(x)与g(x)＝－2x＋(k＋4)x－2k同号．
因为g(x)的二次项系数为－2，
2
2
x2
所以只能满足g(x)≤0恒成立，令Δ＝(k＋4)－16k＝(k－4)≤0，解得k＝4，
所以当k＝4时，f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.k2①当<2，即k<4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
k2 x (－∞，)k2 k20 (，2)＋单调递增k2 20 (2，＋∞) －单调递减f′(x)f(x) －单调递减 极小值 k22
极大值
令f()＝0，得2·()－k·＋k＝0，解得k＝0，满足k<4.
k2k2②当>2，即k>4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
k2 x (－∞，2) 20 (2，)＋单调递增k2 k20 (，＋∞) －单调递减k2f′(x)f(x) －单调递减 极小值 极大值2令f(2)＝0，可得2×2－2k＋k＝0，
解得k＝8，满足k>4.
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.
已知函数的极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的
导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f′(x)；
②由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．
[注意] 求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的
等号是否成立．
已知函数f(x)＝x－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
133
283(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值．
2
解：(1)f′(x)＝x－4，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：－2 x (－∞，－2) (－2，2) 20 (2，＋∞) ＋单调递增f′(x)f(x) ＋单调递增 0 －单调递减 极大值 极小值由表可知，当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝－＋8＋m＝，解得m＝4.故实数
83283m的值为4.
(2)由m＝4可得f(x)＝x－4x＋4，结合上表，可得f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝
133
84－8＋4＝－.3343故函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值为－.
1．函数f(x)＝x－ln x的极值点为( )
A．0，1，－1
322
B.
33 D.
33，－33C．－
3 3解析：选B.由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝＝0，得x＝
13x2－1，令f′(x)
xx3333(x＝－舍去)．当x>时，f′(x)>0；当0 2．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( ) x＝ ①f(x)在(－3，1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在(2，4)上为减函数，在(－1，2)上为增函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． A．①②③ C．③④ B．②③D．①③④ 解析：选B.当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1，2)上为增函数，x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2， 4)时，f′(x)<0，所以f(x)在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)的极大值点．故②③正确． 3．函数y＝3x－9x＋5的极大值为________． 解析：y′＝9x－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表： 2 3 x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)