发布时间 : 星期一 文章精品-新人教版2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2_2更新完毕开始阅读edf26f09b8f3f90f76c66137ee06eff9aff8499f
y′y ＋单调递增 0 －单调递减 0 ＋单调递增 极大值 极小值从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值
3×(－1)－9×(－1)＋5＝11.
答案：11
3
4．已知函数f(x)＝ax＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
2
12(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值．
解：(1)因为f(x)＝ax＋bln x，所以f′(x)＝2ax＋.又函数f(x)在x＝1处有极值.2
bx12
f′（1）＝0，?2a＋b＝0，???1故?即?1可得a＝，b＝－1.12f（1）＝，a＝.??22??
(2)由(1)可知f(x)＝x－ln x.
其定义域为(0，＋∞)．
122
且f′(x)＝x－＝1（x＋1）（x－1）.xx令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (0，1)－ 10 (1，＋∞) ＋f′(x)f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域
上只有极小值f(1)＝，而无极大值．12 知识结构 深化拓展三次函数的极值与零点的关系 对于三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，为了描述方便简洁，这里只给出a>0的情形．令x1，x2为f(x)的极值点，用Δ表示f′(x)＝3ax＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论： (1)y＝f(x)有一个零点?Δ≤0或f(x1)·f(x2)>0. ??Δ>0(2)y＝f(x)有两个零点??. ?f（x1）·f（x2）＝0??Δ>0?(3)y＝f(x)有三个零点??232??f（x1）·f（x2）<0. 相应函数图象的情况如下 (1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图①和②所示． (2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图③所示． (3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图④所示． [A 基础达标]
1．设函数f(x)＝xe，则( )
xxxxA．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：选D.求导得f′(x)＝e＋xe＝e(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1，易知x＝
－1是函数f(x)的极小值点．
2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )B．－1D．0
A．－e C．1－e
解析：选B.函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当
1xx∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝
3
2
ln 1－1＝0－1＝－1.
3．已知函数f(x)＝2x＋ax＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是
B．(3，＋∞)D．(－∞，3)
2
( )
A．(2，3) C．(2，＋∞)
解析：选B.因为f′(x)＝6x＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
所以f′(2)＝0，24＋4a＋36＝0，a＝－15，
所以f′(x)＝6x－30x＋36
3
2
2
＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)>0得x<2或x>3.
故f(x)的递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)
4．已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
B．－3 ( ) A．－1 D．a<－1或a>2 2 解析：选C.由题意知f′(x)＝3x＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ>0，解 3 2 得a>6或a<－3.故选C. 5．函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d的图象如图所示，则x21＋x2等于( ) B.D. 4 3 2A. 38C. 3 2 163解析：选C.由图象可得f(x)＝0的根为0，1，2，故d＝0，f(x)＝x(x＋bx＋c)，则1，2为x＋bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x－3x＋2x，则f′(x)＝3x－6x＋2，由题图可得x1，x2为3x－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝，故x21＋x2 2 2 2 2 3 2 23＝(x1＋x2)－2x1x2＝. 2 836．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx＋x的两个极值点，则常数a＝________． 解析：因为f′(x)＝＋2bx＋1， ax a＋2b＋1＝0，??由题意得?a＋4b＋1＝0.??2 所以a＝－. 答案：－2323 7．若f(x)＝e－kx的极小值为0，则k＝________． 解析：因为f(x)＝e－kx的定义域为R， 所以f′(x)＝e－k， xxx 当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，所以f(x)无极值． 当k>0时，由f′(x)＝0， 得x＝ln k； 令f′(x)>0，得x>ln k；令f′(x)<0，得x ln k所以f(x)极小＝f(ln k)＝e －kln k＝k(1－ln k)＝0， 所以1－ln k＝0，即k＝e. 答案：e 8．若函数f(x)＝x＋x－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范 2 32 围为________． 解析：由题意，f′(x)＝3x＋2x－a，则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1 3 2 a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1，1)内没有极值点．故实数a的取值范围为 3 2 [1，5)． 答案：[1，5) 9．已知f(x)＝ax＋bx＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax＋2bx＋c. 2 且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， 3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. 所以a＝，b＝0，c＝－.1232