发布时间 : 星期三 文章精品-新人教版2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2_2更新完毕开始阅读edf26f09b8f3f90f76c66137ee06eff9aff8499f
(2)由(1)知f(x)=x-x,
所以f′(x)=x-123
322
3232=(x-1)(x+1).
32 当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1 所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数.所以当 x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1. 10.求下列函数的极值. (1)f(x)=+3ln x; 3x(2)f(x)=sin x-cos x+x+1(0 解:(1)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞), 3x333(x-1)f′(x)=-+=, x2xx2 令f′(x)=0,得x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1)- 103 (1,+∞) +f′(x)f(x)单调递减 单调递增因此当x=1时,f(x)有极小值3,无极大值.(2)由f(x)=sin x-cos x+x+1,0 知f′(x)=cos x+sin x+1,0 π 于是f′(x)=1+2sin(x+),0 4 令f′(x)=0,从而π2sin(x+)=-,42又因为0 32当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,π) π (π,π)3 3π (π,2π)3222 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 π+2 单调递减 32π 单调递增 因此,当x=32π时,f(x)有极小值32π; 当x=π时,f(x)有极大值π+2. [B 能力提升] 11.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值, 则函数y=xf′(x)的图象可能是( 解析:选C.因为f(x)在x=-2处取得极小值, 所以当x<-2时, f(x)单调递减, 即f′(x)<0; 当x>-2时,f(x)单调递增,即f′(x)>0. 所以当x<-2时,y=xf′(x)>0; 当x=-2时,y=xf′(x)=0; 当-2<x<0时,y=xf′(x)<0; 当x=0时,y=xf′(x)=0; 当x>0时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C. 12.若函数f(x)=x3 -3ax+1在区间(0,1)内有极小值,则a的取值范围为________. 解析:f′(x)=3x2 -3a. 当a≤0时,在区间 (0,1)上无极值. 当a>0时,令f′(x)>0, 解得x>a或x<-a. 令f′(x)<0,解得-a ) 若f(x)在(0,1)内有极小值,则0 解得0 3 2 13.设a为实数,函数f(x)=x-x-x+a. (1)求f(x)的极值; (2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点? 解:(1)f′(x)=3x-2x-1. 令f′(x)=0, 2 则x=-或x=1. 13当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 1??-∞,-?3??? + -013 1??-,1??3?? - 10 (1,+∞) +f′(x)f(x)极大值 极小值所以f(x)的极大值是f?-?= ?1?5+a, ?3?273 2 极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x-x-x+a=(x-1)(x+1)+a-1, 2 由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0, x取足够小的负数时,有f(x)<0, 所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值=f?-?=+a, ?1?5?3?27f(x)极小值=f(1)=a-1. 因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, 所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0, 即+a<0或a-1>0,所以a<-或a>1, 527527 所以当a∈?-∞,-?∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 27??5?? 14.(选做题)已知函数f(x)=(x+ax+a)e(a≤2,x∈R). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; 2x(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理 2 由. 解:(1)f(x)=(x+x+1)e, xf′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex, 当f′(x)>0时,解得x<-2或x>-1, 当f′(x)<0时,解得-2 所以函数的单调增区间为(-∞,-2),(-1,+∞); 单调减区间为(-2,-1). xx(2)令f′(x)=(2x+a)e+(x+ax+a)e=[x+(2+a)x+2a]e=(x+a)(x+2)e= 得x=-a或x=-2, 0, x2x2 因为a≤2,所以-a≥-2. 列表如下: -2 x (-∞, -2)+ -20 (-2, -a)- -a0(-a,+∞)+f′(x)f(x)极大值 极小值由表可知,f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e=3,2 解得a=4-3e≤2,所以存在实数a≤2,使f(x)的极大值为3,此时a=4-3e. 2