发布时间 : 星期四 文章2019届高三数学 备考冲刺140分 问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题(含解析)更新完毕开始阅读edf5ab5b487302768e9951e79b89680203d86b09
问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题
一、考情分析
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用. 二、经验分享
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值; (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 三、知识拓展
x2y21.设点P?m,n?是椭圆C:2?2?1?a?b?0?上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若
abkPA?kPBbm2??,则??0时直线AB斜率为定值?n?0?,若??0,则直线AB过定点
an2?2n2b2m??m?,?n?2?,
?a???F是该椭圆焦点,则b?OP?a,a?c?PF?a?c;
x2y22. 设点P?m,n?是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若
abkPA?kPBbm2??,则??0时直线AB斜率为定值?2?n?0?,若??0,则直线AB过定点
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?2n2b2m??m?,?n?2?;
?a???3. 设点P?m,n?是抛物线C:y?2px?p?0?一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若
2kPA?kPB??,则??0时直线AB斜率为定值?2n2p??m?,?n???;
????四、题型分析 (一) 定点问题
p?n?0?,若??0,则直线AB过定点n求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明.
【例1】已知直线l的方程为y?x?2,点P是抛物线y2?4x上到直线l距离最小的点,点A是抛物线上异于点P的点,直线AP与直线l交于点Q,过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2?4x交于点B.
(Ⅰ)求点P的坐标;
(Ⅱ)证明直线AB恒过定点,并求这个定点的坐标.
【分析】(Ⅰ)到直线l距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点;也可根据几何意义得为与直线l平行且与抛物线相切的切点:如根据点P到直线l的距离
x0?y0?222y0?y0?24d??2??y0?2?2?442?2得当且仅当y0?2时取最小值,(Ⅱ)解析几何中定点问2?y12? y1?,求出直线AP题的解决方法,为以算代证,即先求出直线AB方程,根据恒等关系求定点.先设点A ? ,?4?方程4x??y1?2?y?2y1?0,与直线l方程联立,解出点Q纵坐标为yQ?2y1?8.即得B点的坐标为y1?2 2
??y1?4?22y1?8???,再根据两点式求出直线AB方程?y?2?y12?4?x?2?y1?8?x?y??0,最后根据方程对 , 2????y1?2?y1?2?应y1恒成立得定点?2 , 2? 【解析】(Ⅰ)设点P的坐标为?x0 , yy20?,则0?4x0, 所以,点P到直线l的距离
y20x?y0?2d?0?y0?2?4?2?2?422??y042?2. 2当且仅当y0?2时等号成立,此时P点坐标为?1 , 2?. (Ⅱ)设点A的坐标为??y214 , y??1??,显然y1?2. 当y1??2时,A点坐标为?1 , ?2?,直线AP的方程为x?1; 当y??2时,直线AP的方程为
y?2?y1?2y2?x?1?11, 4?1化简得4x??y1?2?y?2y1?0;
综上,直线AP的方程为4x??y1?2?y?2y1?0. 与直线l的方程y?x?2联立,可得点Q的纵坐标为y2y1?8Q?y2. 1?因为,BQ∥x轴,所以B点的纵坐标为y2y1?8B?y. 1?2?因此,B点的坐标为??y1?4?22y1?8????y1?2?2 , y?. 1?2??y?8当2y1?2y11?8y??y,即y2y1?24y1?811?8时,直线AB的斜率k??1?2y2?y2y211?4?1?8. 4??y1?2?2所以直线AB的方程为y?y?4y1?8?y21?1y2?x??,
1?8?4?整理得?y?2?y21?4?x?2?y1?8?x?y??0.
当x?2,y?2时,上式对任意y1恒成立,
3
2?, 此时,直线AB恒过定点?2 , 2?, 当y12?8时,直线AB的方程为x?2,仍过定点?2 , 2?. 故符合题意的直线AB恒过定点?2 ,考点:抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系 【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
【小试牛刀】【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,过的长轴,短轴端点的一条直线方程是(1)求椭圆的方程; (2)过点
作直线交椭圆于,两点,若点关于轴的对称点为,证明直线
,当
时,
,即
,当
,
,即
过定点. ,
.
【解析】(1)对于
椭圆的方程为(2)证明:设直线
,
,(,,
,
), ,则
,
设,两点的坐标分别为联立直线得
与椭圆得
,解得
,,
,
直线 ,
4