发布时间 : 星期四 文章2019届高三数学 备考冲刺140分 问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题(含解析)更新完毕开始阅读edf5ab5b487302768e9951e79b89680203d86b09
综上可得?QMN的面积为定值62.
x2y27.【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆C: 2?2?1(a?b?0)的长轴长为4,
ab3A, B是其长轴顶点, M是椭圆上异于A, B的动点,且kMA?kMB??.
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(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,若动点R在直线x?6上,直线AR, BR分别交椭圆C于P, Q两点.请问:直线PQ是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】
(1)由题意知2a?4则a?2,
设M?x0,y0?, A??a,0?, B?a,0?,则kMA?kMBy0y0y02?? ?2, 2x0?ax0?ax0?a0x02?x02y02b2322?由2?2?1,则y0?b?1?2?,则kMA?kMB??2??,则b2?3,由此可得椭圆C的标准方a4aba??x2y2??1. 程为43(2)设R?6,m?,则直线AP的方程为y?mm;则直线的方程为BQx?2y????x?2?联立得
48m?x?2?24m?4882222{2 消去y得: ?m?48?x?4mx?4?m?48??0,则?2?xQ?,即22m?48xy??143y???xQ?248?m2m2?48??代入直线BQ的方程得yQ?248?m224m24m??. ,故Q??2,22?m?48m?48?m?48???? 13
m2?x?2?4m?1242222联立得{2,即 消去y得: m?12x?4mx?4m?12?0,则2?xP?22m?12xy??143y???????xP?2m2?12m2?12??代入直线AP的方程得y2P?2m2?12?12m??12m?. ,故P??2,?m2?12m2?12?m?12????当
248?m2m2?48248?m2m2?48???2?m?12m2?122?,即m2?2??24,则PQ与x轴交点为T?,0?,
?3?当
???2?m?12m2?12?,即m2?2??24时,下证直线PQ过点T?,0?,
?3?由kPT?kQT?12m24m?0?022?9m9m?m2?12 ?m?48 ???0, 22m?2424?m2m?122248?m22??m2?123m2?483????故直线PQ过定点T??2?,0?. ?3?28.【江西省新余市2018届高三二模】已知抛物线C:x?2py?p?0?过点?2,1?,直线l过点P?0,?1?与抛物线C交于A, B两点.点A关于y轴的对称点为A?,连接A?B.
(1)求抛物线线C的标准方程;
(2)问直线A?B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】
(1)将点?2,1?代入抛物线C:x?2py的方程得,
2 p?2.
所以,抛物线C的标准方程为x?4y.
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(2)设直线l的方程为y?kx?1,又设A?x1,y1?, B?x2,y2?12x, 得,则A???x1,y1?.由{4y?kx?1,y?x2?4kx?4?0.
则??16k2?16?0, x1?x2?4, x1?x2?4k.
2x2x12?y2?y144?x2?x1. ??x2???x1?x1?x24所以kA?B2x2x?x?21?x?x2?. 于是直线A?B的方程为y?442x2?x1x2x?x所以y??x?x2???21x?1.
444当x?0时, y?1, 所以直线A?B过定点?0,1?.
9.【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点A?2,0?,且在y轴上截得弦MN的长为4. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)设B?1,0?,过点A斜率为k?k?0?的直线l交轨迹C于P,Q两点, PB,QB的延长线交轨迹C于
S,T两点.
①若?PQB的面积为3,求k的值. ②记直线ST的斜率为kST,证明: 【解析】
(1)设圆心C?x,y??x?0?,过点C作CE?y轴,垂足为E,则ME?∴CA?CM222kST为定值,并求出这个定值. k1MN. 2?ME?CE
222∴?x?2??y2?22?x2,化简为:y?4x. 当x?0时,也满足上式.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y?4x.
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2?y12??y2?,y1?,Q?,y2?, (2)设直线l的方程为y?k?x?2?, P??4??4?y2?4x ,得ky2?4y?8k?0, 由{y?k?x?2???16?32k2?0, y1?y2?①S?PQB?4,y1y2??8. k11ABy1?y2?22?y1?y2??4y1y2?221?2?3,解得k?2. 2k22uuuv?y12uuuv?y3?y3???,y3?,则BP???1,y1?, BS???1,y3?. ②设S??4??4??4?∵P,B,S共线
2?4??y3??y12?42?1?y3?y1??1??0,即y3???y1?y3?4?0,解得: y3?y1(舍)或y3??. ∴?y1?4??4??y1??4?44?4?∴S?2,??,同理T?2,??,
yyyy1?2??1?244?y1y2yy???12?2k
44y1?y2?22y1y2?∴kST∴
kST?2(定值) k
x22
10.如图,已知双曲线C:2-y=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BFa∥OA(O为坐标原点).
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