发布时间 : 星期一 文章2019届高考数学二轮复习 专题七 选修高频考点•真题回访 选修4-4 坐标系与参数方程 文更新完毕开始阅读ee6599f1a4e9856a561252d380eb6294dc882260
坐标系与参数方程
高频考点·真题回访
1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k
+2.以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 2
ρ+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程.
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
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【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x+y=ρ得C2的直角坐标方程为(x+1)+y=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
所以=2,故k=-或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.
所以k=-,所以C1的方程为y=-|x|+2.
2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程.
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
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【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα, 当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
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(1+3cosα)t+4(2cosα+sinα)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-k=tanα=-2.
,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率
3.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点
且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围.
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
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【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x+y=1.
当α=时,l与☉O交于两点.
当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与☉O交于两点当且仅当
<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
综上,α的取值范围是.
(2)l的参数方程为
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,
(t为参数,<α<).
则tP=于是tA+tB=2
,且tA,tB满足t-2sinα,tP=
sinα.
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tsinα+1=0.
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又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数,<α<).
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