发布时间 : 星期一 文章全国数学高考二轮复习考点57 推理与证明-2020年高考数学(理)更新完毕开始阅读ee76776fc67da26925c52cc58bd63186bdeb92d0
5．在各项均为正数的数列?an?中，a1?a，且an?1?（1）当a3?2时，求a的值；
an2?. 2an?an. （2）求证：当n?2时，an?1 考向四 间接证明
1．用反证法证明不等式要把握的三点
（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．
（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的. 2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤：
（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； （2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾； （3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.
典例6 用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是 A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 【答案】B
【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”，故选B.
【名师点睛】反证法证明含“至少”、“至多”型命题时，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结
论的否定是什么，避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.
典例7 若a,b,c均为实数，a?x2?2x?一个大于0. 【答案】见解析.
【解析】设a、b、c都小于或等于0，即a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋2π＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋2π－6>0， 这与假设矛盾，即原命题成立.
【名师点睛】用反证法，假设a,b,c都小于或等于0，推出a?b?c的值大于0,出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证.反证法的适用范围： （1）否定性命题；
（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；
（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明； （4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
ππ2，b?y?4y?π，c?z2?2z?.求证：a，b，c中至少有22
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
考向五 数学归纳法
应用数学归纳法的常见策略：
（1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由n=k到n=k＋1时等式两边变化的项．
（2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由n=k成立证n=k＋1时也成立．在归纳假设后应用比较法、综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧．
（3）应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.
典例8 在用数学归纳法证明f(n)?111*??L??1(n?N*,n?3)的过程中：假设当n?k(k?N,nn?12nk?3)时，不等式f(k)?1成立，则需证当n?k?1时，f(k?1)?1也成立．若f(k?1)?f(k)?g(k)，
则g(k)? A．C．
11? 2k?12k?211?
2k?2k111?? 2k?12k?2k11D． ?2k?22kB．
【答案】B
11111??L???， k?1k?22k2k?12k?2111111?L???，故选B． 而f?k???，所以g(k)?kk?12k2k?12k?2k【解析】当n?k?1时，f?k?1??【名师点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查运算化简能力，考查对比分析能力，属于基础题.求解时，令n?k?1，根据求出f?k?1?的表达式，比较f?k?，由此求得g?k?的值. 典例9 给出下列不等式：
1?1， 2111???1，
2311111131???????，
23456721111???L??2，
231511151???L??，
23312……
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1）1?1111n???L?n?n?N*；（2）证明见解析. 2342?12??【解析】观察不等式左边最后一个数分母的特点：
1?21?1,3?22?1,7?23?1,15?24?1，
……
猜想不等式左边最后一个数的分母为2n?1，对应各式右端为所以，不等式的一般结论为：1?n， 21111n???L?n?n?N*. 2342?12??证明：①当n?1,2时显然成立；
1111k???L?k?成立， 2342?121111111?k?L?k?1?k?1当n?k?1时，1????L?k2342?122?22?1②假设n?k时结论成立，即1??k?1111???k?k?L?k?1?k?1? 2?22?12?22?1??k1k1k1k?1?2k?k?1?????22?122?1222.
2k即当n?k?1时结论也成立.
由①②可知对任意n?N*，结论都成立.
【名师点睛】数学归纳法中：有时候从2k变成了2k+1，这其中增加了：2?1,2?2,...,2?2kkkk?1这些项，
不要盲目认为是直接从2k变成了2k+1，这一点需要注意区分.求解时，（1）根据所给等式，重点关注不等式左边的最后一个数的分母和右边数的分母，写出对应的一般结论；（2）使用数学归纳法直接证明，注意步骤.
17．已知函数f(x)?ln(1?x)?ax在x??处的切线的斜率为1．
2（1）求a的值及f(x)的最大值； （2）用数学归纳法证明：1?111??L??ln(n?1)?n?N*?. 23n
1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面?，直线a?平面?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为 A．大前提错误
B．小前提错误 D．非以上错误
C．推理形式错误