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Pirie-Kieren数学理解模型在数学教学中的应用
中学学数学教学中始终存在着两种不同的倾向：一个是片面追求数学理论体系的完美性，另一个是一味强调数学的解题功能．前者往往导致简单地向学生灌输那些艰涩难懂的定义和定理,后者则常常使得人们只关注学生的解题能力，而忽略了对数学概念和定理的深刻理解．两种倾向有一共同的特征:教师希望通过进行那种急功近利式的训练就能提高学生的数学能力．然而,这两种做法的效果往往难以尽如人意,常常使得不少学生只能对着书本或课堂上的例子“依样画葫芦”,而不能真正理解所学的知识,遇到一些形式与课本有异的问题便束手无策,更谈不上要提高数学思维能力和应用数学知识解决实际问题的能力了．要真正提高学生的数学能力,唯一有效的途径是让学生真正理解所学的数学知识．然而,学生对于所学知识的理解是一个过程．要达到理想的教学效果,需要我们对学生的理解过程有一客观、科学的认识,并在对学生的学习过程进行科学、细致的分析的基础上,针对每一个具体的教学环节, 利用Pirie-Kieren数学理解模型摸索出有效的实践办法．
教师要充分认识到学生在学习中的主体地位．教师在教学中则要扮演引导者、促进者和合作学习者的角色．因此，在教学过程中，师生需要明确各自职责，尤其学生必须清楚，教师指导只是如同路标一样为学习指明了方向，而真正在学习道路上摸索前进的还是学生自己．在数学学习中，这种关系表现尤为突出，因为数学学习主要表现为理解性的学习，别人的理解代替不了自己的思维．学好数学首先需要学会理解学习内容，但是理解是一种复杂的心理现象，如何将其显化，为数学的学习与教学提供指导呢？数学理解动态生长模型在一定程度上做到了这一点，以下结合该模型分析和探讨学生在理解学习过程中应具备的条件． 1．积极理解意向
学习目标之一就是要达成对知识、思想、方法的理解．为了真正理解某个数学知识或者思想方法，学生在心理上必须具有理解的意向，只有学生本人对即将学习的新知识感兴趣，具有好奇心，产生求知欲，才会积极地、主动地展开理解学习过程．结合数学理解动态生长模型，理解过程所经历的第一个阶段是初步了解，即初始的思考活动，是学生对学习对象的一个初步认识．这个阶段是数学理解的起点，理解一般起源于一些具体的数学活动．这一阶段，学生还应具有“自主活动”意向．“自主活动”包含两层含义：一是指活动，二是指学生的自主性
和积极性．例如，在学习椭圆概念时，学生不但要具有学习椭圆知识的意向，而且还要积极地、主动地参与有关的数学活动，这些是学生理解学习的开端，比如学生可以通过动手操作模拟椭圆的形成过程来直观地感知与认识椭圆． 2．数学表达能力
数学理解的第二阶段是产生表象，也就是学生能根据先前的了解逐渐产生表象，归结出其特征，并以新的方式运用．因此，这个阶段学生应具备表达数学的能力．所谓表达数学，是指学生能够用自己的语言将数学的概念、原理、法则等表达出来，即学生可以用自己的语言归结出学习对象的关键特征．在数学概念学习时，表现为能够提炼出概念的本质属性，会用自己的语言表述本质属性，同时能够建构起相应的心理表象．学生应具备表达数学的能力主要基于以下两点：（1）对事物的属性或功能的叙述，可以帮助学生深化数学概念等的学习，语言使个体在理解概念的过程中，无需重新观察事物或回忆有关表象就直接形成概念；（2）学生能够用自己的语言叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，也是学生理解概念的一个标志．比如在直观认识椭圆后，学生能够归结出椭圆的主要特征：椭圆的顶点、对称轴、焦点与准线等． 3．抽象概括能力
数学理解的第三至第五阶段分别为：形成表象、关注性质及形式化．在这个过程中，所形成的表象已经脱离了产生表象的活动，个别表象逐步积累融合成一般表象，学生能认识各表象之间的区别和联系，并且能够建立形式化的数学对象，这就需要学生具备抽象概括能力．概括是形成和掌握概念的直接前提．学习和应用知识的过程就是一个概括过程，如果缺乏抽象概括，就不可能掌握概念，更谈不上掌握由概念所引申的定义、定理、法则、公式等；就无法进行逻辑推理，更谈不上思维的深刻性和批评性；就不能实现思维过程的“缩减”或“浓缩”，更谈不上思维的敏捷性，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约．广义的抽象概括能力也包括形式化组织能力，即是指不仅知道表象之间的关系，还会用形式化的符号语言将它们联系起来．比如，此时再要提到椭圆，学生不需要再重复活动的过程，头脑中已形成了椭圆的一般表象，并且能够认识到各个表象之间的区
别和联系，能够概括出椭圆的有关性质，能由椭圆的形成过程观察到：椭圆上任意一点到两个定点（焦点）的距离之和等于同一个常数，且这个常数就是椭圆长轴的长度，并且能用数学符号表示、用数学语言表达． 4．反思交流能力
数学理解的观察评述阶段，表现为通过观察、反省自身概念学习所经历的过程，对之前阶段抽象出来的方法或性质进行思考、讨论和检验，并将思考和讨论的结果进行整理和组织，这一阶段要求学生具有反思交流能力．比如，此时学生对椭圆已经有了一般认识，但是还需要对自己的认识进行反思．反思是指学生要对自己的理解过程进行回顾和思考，考察其是否正确合理，以获取学习的经验和教训；如果缺乏反思，学习过程中出现的问题可能会被隐藏，很可能形成错误的认知结构，势必影响后继知识学习．交流是学生与学生、学生与教师对数学知识的认识与理解进行切磋讨论、取长补短、完善认识的过程，这一过程其实也包含着反思．学生对内的自我反思和对外的交流沟通是促进理解的有效途径． 5．知识整理能力
知识并不是孤立存在的，尤其是数学知识具有很强的逻辑性与结构性，新知识的学习都要依赖于已有的知识，因此在学习了新知识后，就应该在头脑中寻找新知识与原有认知结构之间的联系，并在新知识与原有认知结构中与之相关的知识之间建立逻辑的、内在的联系，这就是数学理解的构造化阶段．这一阶段包含着使建立起来的新旧知识之间的关系正当化和确切化的过程．因此，这一阶段要求学生具备知识整理能力，能够在新知识与原有知识之间建立起知识网络，能够勾画新旧知识之间的结构关系图，从而显化自己建构起来的认知结构．