发布时间 : 星期一 文章(word完整版)新版人教版九年级数学全册知识点(2),推荐文档更新完毕开始阅读ef2c83b7f56527d3240c844769eae009591ba2d2
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax+bx+c=0时，应满足（a≠0）
2
2
21.2 降次——解一元二次方程
1．一元二次方程的解法
22(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如x?a(a≥0)，(x?a)?b(b≥0)类的22一元二次方程．x?a，则x??a；(x?a)?b，x?a??b，x?a?b．对有些一元二次方程，本
身不是上述两种形式，但可以化为x?a或(x?a)?b的形式，也可以用此法解．
(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab＝0的条件是a＝0或b＝0，使方程x(x－3)＝0的条件是x＝0或x－3＝0．x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x－3)＝0有两个根，而不是一个根．
22(3)配方法：任何一个形如x?bx的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一2个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解x?6x?7?0时，可把方程
2?6??6?2x?6x???7?????222???2?，即(x?3)?2，从而得解． x?6x??7化为，
22注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
22(3)公式法：一元二次方程ax?bx?c?0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．在b?4ac?0?b?b2?4acx?2a的前提下，．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式，即ax?bx?c?0(a≠0)的形式；
②正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)；
③计算b?4ac?0时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根．
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数
222根．而根的情况，由b?4ac的值来确定．因此??b?4ac叫做一元二次方程ax?bx?c?0的根的判别式．
△>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根． 判别式的应用
(1)不解方程判定方程根的情况；
22(2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用
bcx?x??，x?x?12122aa． 定理：如果方程ax?bx?c?0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么
当a＝1时，x1?x2??b，x1?x2?c．
应用：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题；
(3)平均增长率问题． 步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；
⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．
第二十二章 二次函数
22.1二次函数及其图像
二次函数概念
一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像
是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标
和
，交点式为。
（仅限于
与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数公式大全 二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象， 可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。 IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2;+bx+c=0
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 例1，二次函数
配方为
的形式，则
()
用函数观点看一元二次方程
2y?ax?bx?c与x轴有公共点，1. 如果抛物线公共点的横坐标是x0，那么当x?x0时，函数的值是0，因此x?x02就是方程ax?bx?c?0的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
1. 图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
（图形的旋转
本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
二、知识要点
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质
① 旋转后的图形与原图形全等 ② 对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③ 各旋转角都相等
3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质
① 平移后的图形与原图形全等
② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③ 各组对应线段平行且相等
5、中心对称与中心对称图形
① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对