发布时间 : 星期日 文章山西省山西大学附属中学2019届高三数学上学期11月月考试题理更新完毕开始阅读ef5a69b57dd184254b35eefdc8d376eeafaa1759
为
7. 721.（本题满分12分）
如图,在四棱锥中P?ABCD中,底面ABCD为菱形,?BAD?60o,Q为AD的中点．
（1）若PA?PD,求证：平面PQB?平面PAD； （2）若平面PAD?平面ABCD,且PA?PD?AD?2,点M在线段PC上,且CM?2MP,求三棱锥P?QBM的体积．
18.【解析】（1）点,又
底,
又又 （2）
平面平面平面
又又
,,
,
,
平面
,平面,
, ……(8分)
平面
, ……(10分)
. … (12分)
, ……(2分) 面
为
菱
形
,
, ……(4分) 平面平面
,平面
, 平面
. ……(6分) 平面
,
,
,
为
的中
M
a2x?x?a(a?R). 2（1）若直线x?t(t?0)与曲线y?f(x)和y?g(x)分别相交于A,B两点，且曲线y?f(x)在A处的切线与y?g(x)在B处的切线相互平行，求a的取值范围；
（2）设h(x)?f(x)?g(x)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,且
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)?xlnx,g(x)??x1?x2.已知??0,若不等式e1???x1?x2恒成立，求?的取值范围. 【解析】（1）依题意，函数f(x)的定义域为（0，??），f'(x)?lnx?1,g'(x)?ax?1.因为曲线y?f(x)在A处的切线与y?g(x)在B处的切线相互平行，所以f'(t)?g'(t)在(0,??)有解，即方程lnt?at?0在(0,??)有解.……………………2分 方程lnt?at?0在(0,??)有解转化为函数y?lnx与函数y?ax的图像在(0,??)上有交点，如图，令过原点且与函数y?lnx的图像相切的直线的斜率为k，
只须a?k. 令
切
点
为
A(x0,lnx0),则k?y'|x?x0?lnx01,又k?x0x0，所以
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1lnx0?,解得x0?e,于是k?1，所以a?1.………………………………………5x0x0ee分
a2x?x?a(x?0),所以h'(x)?lnx?ax. 2因为x1,x2为h(x)在其定义域内有两个不同的极值点，所以x1,x2是方程lnx?ax?0的
lnx1?lnx2lnx?ax,lnx?ax,作差得a?.…………………6分 两个根，即1122x1?x2因为??0,x1?x2?0,所以,
（2）h(x)?f(x)?g(x)?xlnx?e1???x1?x2??1???lnx1??lnx2?1???1??ax1??ax2?a(x1??x2)?a?
x1??x2?分
lnx1?lnx2x(1??)(x1?x2)1??x??ln1??ln1?x1?x2x1??x2x2x1??x2x2(1??)(x1?1)x2x1??x2.…8
令t?x1(1??)(t?1)在t?(1,??)上恒成立. ，则t?(1,??)，由题意知，不等式lnt?x2t??(1??)(t?1)1(1??)2(t?1)(t??2),则?'(t)???. 令?(t)?lnt?22t??t(t??)t(t??)2（ⅰ）若??1,对一切t?(1,??),?'(t)?0,所以?(t)在(1,??)上单调递增，又?(1)?0,所以?(t)?0在(1,??)上恒成立，符合题意.……………………………10分
?2?1,当t?(1,?2)时，
?'(t)?0;当t?(?2,??)时,?'(t)?0,所以?(t)在(1,?2)上单调递减，在(?2,??)上单调递增，又?(1)?0,所以?(t)在(1,+?)上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
（
ⅱ
）
若
综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式e21????x1?x2恒成立，
只须??1.又??0,所以0
21．（本题满分12分）
alnx?bex已知函数f(x)??a?0,e为自然对数的底数?
x（1）若曲线f?x?在点?e,f?e??处的切线斜率为0，试求f?x?的极值；
（2）当a?b?1时，证明：函数g?x??xf?x??2的图象恒在x轴下方。
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解：（1）由题意得，
∵，∴，∴，∵，∴当时，；当时，，∴在区间内为增函数，在区间内为减函数，∴的极大值为没有极小值
证明：当时，，∴，其在区间内为减函数，又，∴存在唯一的零点，此时在区间内为增函数，在区间内为减函数，且，则（3）
由单调性，知 ，又，
故，∴，即函数的图象恒在轴下方。
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