发布时间 : 星期一 文章湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(含解析)更新完毕开始阅读efa44c06c081e53a580216fc700abb68a882ad40
折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.
（Ⅰ）证明：平面；
，当点在线段
上运动时，求三棱锥
的体积.
（Ⅱ）若点在线段上，且
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用点在平面
，从而证得（Ⅱ）求出点到底面
内的射影恰好在，命题得证。 的距离，利用
，垂足为.
计算，问题得解。
上，过P作AD的垂线段PO，由此证得
，再计算出
，
【详解】解：（Ⅰ）过点作
由于点在平面∴∴∵四边形又∴又由又∴
. ，，∴平面
.
平面.
.
内的射影恰好在上，
为矩形，∴，∴
平面
. ，
，可得，同理，∴
. ，且
，
（Ⅱ）设点到底面
的距离为，
则由∴又∴
，可知
， .
.
， .
【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。 20.已知椭圆
.
(1)求椭圆的标准方程； (2)已知
分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于
两点，记直线
的交点为，是否存在
的左、右焦点分别为
且椭圆上存在一点，满足
一条定直线，使点恒在直线上? 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）对三角形（2）设
，
应用余弦定理即可求得，
，利用
，结合椭圆定义求得，问题得解。 及
列方程，整理得：
，由
（2）存在，点在定直线
上
整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，
由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.
【详解】（1）设，则内，
由余弦定理得化简得故∴
，得
，解得， ，
.
，设，① ，②
两式相除得
.
，，
，
所以椭圆的标准方程为（2）已知由
，
，，
又，
故，
故，③
设得
的方程为，代入，
整理，
恒成立.
把代入③，
得，
得到，故点在定直线上.
【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。 21.设函数
.
(1)求函数(2)若
的极值点个数；
，证明
.
【答案】（1）2个（2）详见解析 【解析】 【分析】 (1)由
是奇函数，把问题转化成
正负来处理，求出
上存在唯一的使
(2)利用（1）中的结论可知：
【详解】解：（1）因为
.在
的极值点个数问题，求出，判断
，把
的正负问题转化成
的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间
，问题得解。 内恒成立.令
，可将问题转化成
上不存在使得
在区间
，问题得证。
为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑，
时，
上的极值点个数，
.
令，，
∴当当∴取
，
时，时，.
，，
单调递减， 单调递增，
，
上存在唯一的使上单调递减，在区间
.
上单调递增.
∴在区间∴又∴∴
在区间
为奇函数， 在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
的极值点共2个.
在区间
内单调递减，且
恒成立.
（2）由（1）可知