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初中数学竞赛专题选讲
二元一次方程的整数解
一、内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y??2y (1) , =
5551?y?k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是?方法二，公式法：
?x?11k?2（k是整数）
?y?1?5k?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解?则通解是?（x0,y0可用观察法）
y?yy?y?ak0?0?3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
二、例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
18?9y15?10y?3?y3?y??3?2y? 5553?y?k（k为整数）设，y=3－5k, 代入得x=9－9k 5解x=
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∴原方程整数解是??x?9?9k （k为整数）
?y?3?5k?x?0?9y?x?0它的通解是?（k为整数）
y??2?5ky??2??又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解? 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 设
100?6yy?20?y?(1)， 55y?k(k为整数)，则y=5k,(2) 5把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵??x?0?20?6k?0 解不等式组?
?y?0?5k?020,k的整数解是1，2，3， 6得0＜k<
?x?14?x?8?x?2∴正整数解是? ??y?10y?15y?5???例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y都是正整数）
?x?1∵x＝1时，y=7，∴?是一个整数解
y?7?∴通解是??x?1?5k（k为整数）
?y?7?3k?1?5k?017得解集是??k? ∴整数k=0，1，2
53?7?3k?0?x?1?x?6?x?11 ???y?7?y?4?y?1解不等式组?把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解?答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
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三、练习
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，
求兄弟三人的岁数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？ 7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= x=
1 4 －2 1?7y? 3练习题参考答案
?x?4?7k?x?41. 公式法①由特解?得通解?（k为整数）
y?0?ky?0?? ②由特解??x?5?11k?x?5得通解?（为k整数）
?y?2?5k?y?2?x?10k?31?10y1?y 整除法①∵x==-3y,……∴通解是?（k为整数）
33y?1?3k?②通解是??x?3k?1（k为整数）
?y?5?11k?x?2?x?9?x?16?x?22?3k22＜k＜0…… 2. ①? ② －???3y?11y?6y?1y?0?5k????教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)
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3. 有6种截法??甲＝5?乙＝34?甲＝10??乙＝28?甲＝15??乙＝22?甲＝20??乙＝16?甲＝25??乙＝10?甲＝19 ??乙＝54. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）
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