发布时间 : 星期一 文章【100所名校】2017-2018北京市中国人民大学附属中学高一期末数学试题(解析版)更新完毕开始阅读efd05e8e6ad97f192279168884868762cbaebb3f
2017-2018北京市中国人民大学附属中学高一期末
数 学 答 案
1．D 【解析】A??1,3,5?,B??x|?x?1??x?3??0 ???1,3?,?A?B???1,3?.
故选D. 2．A
【解析】sin(?2π2ππ?π33)=-sin3=-sin?????3???-sin3??2. 故选D.
3．C
【解析】y=2x为指数函数，没有奇偶性；
y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性； y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数； y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数． 故选C． 4．C
【解析】由题幂函数y?f?x?的图象经过点??2,4?，则4???2??,???2 即幂函数为y?x2,故f?x?在定义域内有最小值 .
选C. 5．D
【解析】设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=
3 m，AC=EC=2m，
∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，?CD?3BC,CA?CE?0,ABDE故A、B、C成立； 故选D. 6．C
【解析】根据函数f?x?的图象，设（fx）?Asin（?x??），可得A?2，1?2?2??2?3??6，???2． 再根据五点法作图可得2????6???0，????3，（fx）?2sin（2x?3）， 故可以把函数f?x?的图象先向左平移???6个单位，得到y?2sin（2x?3?3）?2sin2x
的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y?2sinx 函数的图象， 故选：C．
7．B
x【解析】∵f?x??log?1?2x???2??在（0，??）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f?a?f??b?f??c0，
?（fa）、（fb）、（fc） 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数； 即： （fa）＜0，0＜（fb）＜（fc）；或（fa）＜（fb）＜（fc）＜0； 由于实数x0是函数y?（fx）的一个零点， 当（fa）＜0，0＜（fb）＜（fc）时， a＜x0＜b， 当（fa）＜（fb）＜（fc）＜0 时， x0＞a， 故选B
8．A
【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，
则
D
（
-1
，
2
），
P
（
cosθ
，
sinθ
），（
其
中
0
＜
θ
＜
π
）
PA?PB?PD?2PO?PD???2cos?,?2sin?????1?cos?,2?sin??
???1?3cos?,?3sin?? ?PA?PB?PC?PD???1?3cos??2???3sin??2?10?6cos? ∵cosθ∈
（-1，1），∴PA?PB?PC?PD∈（4，16）.
故选D.
点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法. 9．纵坐标为横坐标2倍即可 【解析】向量a?（，12）， 与a 共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）． 故答案为：（2，4）． 10．
35 【解析】∵角?的终边经过点（3，?4），?x?3，y??4，r?5， 则cos??xr?35．
故答案为35． 11．3
【解析】由题意可知： a?（3，0），b?（，11）， 则a?b?3?1?1?0?3． 故答案为3． 12．t?1
【解析】
函数 f?x??{x2,x?t，x,0?x?t. （t?0）的图象如图：由图像可知函数
f?x??{x2,x?t，x,0?x?t. （t?0）是区间?0,???上的增函数，
则须t?1． 故答案为t?1．
【点睛】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，解题时注意数形结合思想的应用
13．2021
【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
n由题意可得y=400×（1+50%）n
=400×（32)n???3??2???10两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，
∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超
过4000万吨. 故答案为2021． 14．①②③ 【解析】!
由题函数f?x??sin?x在区间（0，π6）上是增函数，则由（f?x）?sin（??x）??sin?x??（fx），可得（fx）为奇函数，
则①函数f?x??sin?x在区间(?π6,0)上是增函数，正确； 由
????62， 可得??3 ，即有满足条件的正整数?的最大值为3，故②正确； 由于
????3?2?6， 由题意可得对称轴x??6 ，即有f??π??π?12?4??4???f??12??.，故③正确．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，重点是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 15．0
【解析】错误！未找到引用源。 即答案为0. 16．-3 【解析】
试题分析：∵a?(2,4),b?(1,1)，∴a?b?6,b2?2，又∵ b?(a??b)，∴b?(a??b)?a?b??b2?0，∴6?2??0，∴???3
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 17． ????90? ?22
【解析】（1）?与?的关系为
由题意可得：点P为单位圆上点，并且以射线OP为终边的角的大小为?， 所以P（cos?，sin?）， 又因为P，M 两点关于直线y?x 对称， 所以M（sin?，cos?）． 即M（cos????2?????，sin????2?????）．即?????2
（2）
?????2,?cos??cos???????2????sin???13, 0???π2,?sin??sin???????22sin?2???cos??3, 故tan??cos???22. 即答案为(1). ????90? (2). ?22 18．①②③
【解析】①f?x?2???sin2?x?2???sin?x?2???sin?2x?4???sinx?sin2x?sinx?f?x? 故正确；
f?x??sin2x?sinx?1 ，故②正确；
f?x??sin2x?sinx?2sin2x?cosx,
?f??x??2sin2??x??cos??x?x?2sin2x?cosx?f?x? 即函数f?x?为偶函数，由函数f?x?为周期函数
可知f?x?的对称轴为x?kπ , k?Z;故③正确；
f??????sin?????3f??????6??2?6???sin6?4,?3???sin???2???3?3??sin6?4, 故④不正确.
即答案为①②③.
19． ?co?s,s?i?n ?617 【解析】（1）因为B为单位圆上半部分上的动点，且?BOX??，故B?cos?,sin?? （
2
）
OA?OB??1,1???cos?,sin???cos??sin??15
，
?0????,cos2??sin2??1,?cos???34sin?cos???3???45,sin??5, 1?cos2???5?51??2??6?3?17 ??5??20．
12?OA?OB? M1,M2 【解析】若D为AB中点,则由向量的加法法则可得OD?12?OA?OB? ； 设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N ，
则存在实数t?（0，1]，使得
（）1ON?tOA?（1?t）OB， 且存在实数r?1，使得OM?rON， 从而OM?rtOA?（r1?t）OB，
且rt?（r1?t）?r?1． 又由于0?t?1 ，故（r1?t）?0． 对于①中rt?1，（r1?t）?2 ，解得r?3，t?23， 满足r?1也满足（r1?t）?0．，故①满足条件． 对于②rt?314，（r1?t）?3， 解得r?1312，t?913 ，满足r?1也满足（r1?t）?0．故②满足条件， 对于③rt?1152，（r1?t）?3， 解得r?6，t?35，不满足r?1，故③不满足条件， 对于④rt?314，（r1?t）?5， 解得r?1920，t?1519 ，不满足r?1，故④不满足条件，
故答案为(1). 12?OA?OB? (2). M1,M2
21．（1）?0,2?；（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f(x)?1有解，即可求实数k的取值范围；
（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可． 试题解析：
（1）∵向量a=(sxin，
b=(1,k)， f(x)?a?b，∴f(x)?a?b =sinx+k .
关于x的方程f(x)?1有解，即关于x的方程sinx?1?k有解.
∵sinx???1,1?，∴当1?k???1,1?时，方程有解,则实数k的取值范围为?0,2?. （2）因为f????113?k，所以sin?+k?3+k，即sin??13. 当??(0,π222]时， cos??1?sin2??3， tan??sin?cos??24. 当????π?22?2,π??时， cos???1?sin2???3， tan???24. 22．（1）b??4； c?0；（2）a?5或?5?a?0 【解析】试题分析：（1）代值计算即可，
（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g?x?的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数g?x?的单调减区间，
（ii）根据函数单调性性质可得{a＞0a2?4a＞a 或{a?0,?a2?4a?a. 解得即可.
试题解析：
（1）b??4； c?0.
（2）（ⅰ）??2,2?.（ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??x2?4x，则当x?0时， g?x??x2?4x；
当x?0时， ?x?0，则g??x????x?2?4??x??x2?4x
因为g?x?是奇函数，所以g?x???g??x???x2?4x. 若g?a??a，则
{a?0,a2?4a?a; 或{a?0,?a2?4a?a. 解得a?5或?5?a?0. 综上，a的取值范围为a?5或?5?a?0. 23．（1）f?x??2sin??2π??6??；（2）???π3?kπ,π?x?6?kπ???， k?Z；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出?，由五点法作图求出?的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f?x?）的单调递增区间． （Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f?x?）在区间?????2,0???上的最大值和最小值 试题解析：
（1）
?x?? 0 π3π2 π 2 2π x ?ππ5π2π11π12 6 12 3 12 y?Asin??x??? 0 2 0 ?2 0
根据表格可得
12?2???2?3??6，???2． 再根据五点法作图可得2??6????2，????6 ，
故解析式为： f?x??2sin???2x?π?6?? （2）令2k????2?2x??6?2k??2，求得k???3?x??k?6 ?函数f?x?的单调递增区间为
????π3?kπ,π6?kπ???， k?Z. （3）因为?π2?x?0，所以?5π6?2x?ππ6?6. 得： ?1?sin??2x?π??6???12. 所以,当2x?π6??π2即x??π3时， f?x?在区间??????2,0??上的最小值为?2. 当2x?π6?π6即x?0时， f?x?在区间??????2,0??上的最大值为1. 【点睛】本题主要考查由函数y?Asin（?x??）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出?，由五点法作图求出?的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题． 24．（1）③；（2）见解析；（3）1
【解析】试题分析：（1）根据新定义判断即可， （2）根据新定义证明即可， （3）
??x??sinx?kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x?R，
sin?x?T??k?x?T??sinx?kx?T.．即可得到2kT?2T，解得验证即可．
试题解析： （1）③；
（2）证明：∵g?x?为线周期函数，其线周期为T，
∴存在非零常数T，对任意x? R， g?x?T??g?x??T恒成立. ∵G?x??g?x??x,
∴G?x+T??g?x?T???x?T? ?g?x??T??x?T? ?g?x??x ?G?x?. ∴G?x??g?x??x为周期函数.
（3）∵??x??sinx?kx为线周期函数，
∴存在非零常数T，对任意x?R， sin?x?T??k?x?T??sinx?kx?T. ∴sin?x?T??kT?sinx?T．
令x?0，得sinT?kT?T；令x?π，得?sinT?kT?T；
①②两式相加，得2kT?2T. ∵T?0，∴k?1．检验： 当k?1时，
??x??sinx?x．存在非零常数2π，对任意x?R，
??x?2π??sin?x?2π??x?2π?sinx?x?2π???x??2π，
∴??x??sinx?x为线周期函数，综上， k?1. 25．（1）4；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）在Y中取a1??x,2?,a2???1,2?，根据数量积的坐标公式， 结合x?2，可得x?4．
（2）取p??x1,x1??Y,设q??s,t??Y,根据p?q?0，化简可得s?t?0，所以s、t 异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t 中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1?X ，最后通过反证法，可以证明出当当xn?1时, x1?1. 试题解析：
（1）因为x?2,选取a1??x,2?,a2???1,2?,由a1?a2?0得4?x?0,则x?4. （2）取p??x1,x1??Y,设q??s,t??Y,
由p?q?0得x1?s?t??0,则s?t?0,则s和t中有一个数是?1, 则s和t中有一个数是1,即1?x,
假设xk?1(1?k?n),则0?x1?1?xn,再取e??x1,xn??Y, f??s,t??Y,则sx1?txn?0,