发布时间 : 星期一 文章【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)更新完毕开始阅读efd3983a988fcc22bcd126fff705cc1754275f90
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（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直， 故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）
设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0）， F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m）， ∴
=（﹣m，2，m），
， ．
，
，则
，4，
），
，
=．
，即
，
，
∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2∴
=（﹣2
，2，2
），
设面DBF的法向量为令y=4可得：=（3
同理可得平面CDB的法向量为∴cos＜
＞=
=
由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角， ∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
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20．（12.00分）已知椭圆
．
（1）求椭圆C的方程；
的离心率为，且C过点
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足原点）．证明：直线l的斜率为定值．
【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；
（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】解：（1）由题意可得=解得a=2，b=1，c=故椭圆C的方程为
， +y2=1；
，
+
=1，a2﹣b2=c2，
（其中O为坐标
（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0）， P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2）， 令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|， 令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||， 则S△PMO=|MO|?|y1|，S△QMO=|MO|?|y2|，
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S△PNO=|MO|?|x1|，S△QNO=|NO|?|x2|， 由
，
可得=，
即有﹣2=﹣2，
可得即
=（
=，
）2=k2，
+y2=1，
由y=kx+m代入椭圆
可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0， 则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0， 即为1+4k2﹣m2＞0， x1+x2=﹣
，x1x2=
，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 =k2?
+km（﹣
）+m2
=，
可得=k2?，
即有4k2=1（m≠0）， 可得k=﹣（舍去）， 则直线l的斜率为定值．
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【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（lnx﹣x+1）． （1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数； （2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．
【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xex﹣a=0，讨论a的范围得出方程xex﹣a=0的根的情况，从而得出结论；
（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论． 【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）ex+a（﹣1）=令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）＞g（0）=﹣a．
∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点， 当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．
（2）当a≤0时，xex﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e， 当a＞0时，y=xex﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0， 使得x0e
﹣a=0，
（x＞0），
若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，
又f（1）=﹣e，不符合题意；
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