发布时间 : 星期五 文章北师大初中数学中考总复习:函数综合--知识讲解(基础)更新完毕开始阅读efe425d3df80d4d8d15abe23482fb4daa48d1dd4
(2)函数图象与y轴的交点为(0,1-b), ∵ 交点在轴的下方,
∴ ,即a≠, b>1.
(3)函数图象过第一、二、四象限,则必须满足 .
【总结升华】下面是y=(≠0), y=+b (≠0)的图象的特点和性质的示意图,如图1,当>0时,y随的增大而增大;当b>0时,图象过一、二、三象限,当b=0时,是正比例函数,当b<0时,图象过一、三、四象限;当y=时,图象过一、三象限,且是它的角平分线.由于常数、b不同,可得到不同的函数,决定直线与轴夹角的大小,b 决定直线与y轴交点的位置,由定向,由b定点.同样,如图2,是<0的各种情况,请你指出它们的图象的特点和性质.
举一反三:
x22【变式】作出函数y=, y?,y?(x)的图象,它们是不是同一个函数?
xx2【答案】 函数y?(x)的自变量的取值范围是≥0;函数y?在≠0时,就是函数y=;而=0不在
x2x2函数y?的自变量的取值范围之内.
x 由此,作图如下:
可见它们不是同一个函数.
类型二、函数图象及性质
2.已知:
(1)m为何值时,它是一次函数. (2)当它是一次函数时,画出草图,指出它的图象经过哪几个象限?y是随的增大而增大还是减小? (3)当图象不过原点时,求出该图象与坐标轴交点间的距离,及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足:一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0. 【答案与解析】
(1)依题意:
,解得m=1或m=4.
∴当m=1或m=4时,它是一次函数.
(2)当m=4时,函数为y=2,是正比例函数,图象过一,三象限, y随的增大而增大.
当m=1时,函数为y=--3,直线过二,三,四象限,y随的增大而减小.
(3)直线y=--3不过原点,它与轴交点为A(-3,0), 与y轴交点为B(0,-3),
.
,与两轴围成的三角形面积为
.
.
∴直线y=--3与两轴交点间的距离为
【总结升华】
(1)某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为0.
(2)判断函数的增减性,关键是确定直线y=+b(≠0)中、b的符号.
(3)直线y=+b(≠0)与两轴的交点坐标可运用轴、y轴上的点的特征求,当直线y=+b(≠0)上的点在轴上时,令y=0,则y=b,即交点为(0,b).
举一反三:
【变式】已知关于x的方程x2?(m?3)x?m?4?0. (1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;
,交点为
;当直线y=+b(≠0)上的点在y轴上时,令=0,则
(3)设抛物线y?x2?(m?3)x?m?4与y轴交于点M,若抛物线与轴的一个交点关于直线y??x的对称点恰好是点M,求m的值. 【答案】
证明:(1)??b2?4ac?(m?3)2?4(m?4)?m2?10m?25?(m?5)2≥0,
所以方程总有两个实数根.
解:(2)由(1)??(m?5)2,根据求根公式可知,
m?3?(m?5)2 方程的两根为:x? 即x1?1,x2?m?4,
2 由题意,有4?m?4?8,即8?m?12.
(3)易知,抛物线y?x2?(m?3)x?m?4与y轴交点为M(0,m?4),由(2)可知抛物线与轴的
交点为(1,0)和(m?4,0),它们关于直线y??x的对称点分别为(0,?1)和(0, 4?m), 由题意,可得?1?m?4或4?m?m?4,所以m?3或m?4.
3.抛物线y=+b+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=﹣2﹣3,
则b、c的值为( )
A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=﹣3,c=2 【思路点拨】
易得新抛物线的顶点,根据平移转换可得原抛物线顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式,展开即可得到b,c的值. 【答案】B. 【解析】
解:由题意得新抛物线的顶点为(1,﹣4), ∴原抛物线的顶点为(﹣1,﹣1),
222
设原抛物线的解析式为y=(﹣h)+代入得:y=(+1)﹣1=+2, ∴b=2,c=0. 故选B.
【总结升华】
抛物线的平移不改变二次项系数的值;讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.
4.若一次函数y=+1的图象与反比例函数y?【思路点拨】
2
2
1的图象没有公共点,则实数的取值范围是 . x?y?kx?11?因为反比例函数y? 的图象在第一、三象限,故一次函数y=+1中,<0,将解方程组 ? 1xy??x?转化成关于的一元二次方程,当两函数图象没有公共点时,只需△<0即可. 【答案】k<-1. 41的图象在第一、三象限, x【解析】由反比例函数的性质可知,y?∴当一次函数y=+1与反比例函数图象无交点时,<0, ?y?kx?1?2解方程组?,得+-1=0, 1y??x?当两函数图象没有公共点时,△<0,即1+4<0, 解得k<-1, 41. 4∴两函数图象无公共点时,k<-故答案为:k<-【总结升华】
1. 4本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.关键是转化成关于的一元二次方程,再确定的取值范围.
类型三、函数综合题
5.(2015春?姜堰市校级月考)已知二次函数y=a2+b+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线=﹣,有下列结论:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c<0;其中正确结论的个数是( )
A.0 B. 1 C. 2 D.3 【思路点拨】
根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点,确定a、b、c的符号,根据对称轴和图象确定y>0或y<0时,的范围,确定代数式的符号. 【答案】C. 【解析】
解:①∵开口向下,∴a<0,对称轴在y轴的左侧,b<0,∴①正确; ②当=1时,y<0,∴a+b+c<0,②正确; ③﹣
=﹣,2a=3b,=﹣1时,y>0,a﹣b+c>0,b+2c>0③错误;
故选:C.