发布时间 : 星期五 文章2020高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教更新完毕开始阅读efe4ac30f7335a8102d276a20029bd64793e6270
2019年
∴函数的定义域为.
(2)∵0≤x≤9,∴-≤-≤, ∴-≤sin(-)≤1, 故-≤2sin(-)≤2.
即函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-. ∴最大值与最小值的和为2-. 题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是________________.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
?答案 (1)(k∈Z) (2)??2,4? ??
1
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解析 (1)由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z), 得-<x<+(k∈Z),
所以函数f(x)=tan的单调递增区间为
?kπ-π,kπ+5π?(k∈Z).
?212212???
(2)由<x<π,ω>0,得
ωπ
+<ωx+<ωπ+, 2
又y=sin x的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z,
ωπππ??2+4≥2+2kπ,k∈Z,所以?π3π
ωπ+≤+2kπ,k∈Z,??42
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,]. 引申探究
本例(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________.
2019年
答案 [,]
解析 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
ωππ??2+4≥-π+2kπ,k∈Z,则?π
ωπ+≤2kπ,k∈Z,??4
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z, 得k=1,所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(1)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=________. 答案 (1),k∈Z (2)2 解析 (1)由已知函数得y=-sin,
欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z). (2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, ∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,
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2019年
y=sin ωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,
y=sin ωx是减函数.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增, 在上单调递减,知=, ∴ω=.
题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性
例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为________.
(2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足1 答案 (1)①②③ (2)2或3 解析 (1)①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π; ②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π; ③y=cos的最小正周期T==π; ④y=tan的最小正周期T=. (2)由题意得,1<<2, ∴k<π<2k,即 例4 (2016·盐城模拟)当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则下列关于函数y=f(-x)的说法正确的是________. ①是奇函数且图象关于点(,0)对称; ②是偶函数且图象关于点(π,0)对称; ③是奇函数且图象关于直线x=对称; 2019年 ④是偶函数且图象关于直线x=π对称. 答案 ③ 解析 ∵当x=时,函数f(x)取得最小值, ∴sin(+φ)=-1,∴φ=2kπ-(k∈Z), ∴f(x)=sin(x+2kπ-)=sin(x-), ∴y=f(-x)=sin(-x)=-sin x, ∴y=f(-x)是奇函数,且图象关于直线x=对称. 命题点3 对称性的应用 例5 (1)已知函数y=2sin的图象关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________. (2)若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为________. 答案 (1)- (2)2 解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈Z, 故x0=-,k∈Z, 又x0∈,∴-≤k≤,k∈Z, ∴k=0,则x0=-. (2)由题意知π+=kπ+(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2. 思维升华 (1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义. ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (1)(2016·常州模拟)已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总