发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计公式更新完毕开始阅读f0398ed0551810a6f5248677
概率论与数理统计 公式（全）
（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)?P(X?x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0?F(x)?1, ???x???； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1； x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 对于离散型随机变量，F(x)?xk?xx?pk； 对于连续型随机变量，F(x)?（5）八大分布 0-1分布 二项分布 ???f(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。 kP(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?k， 其中q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。 当n?1时，P(X?k)?pqk1?k，k?0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 1
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泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?MP(X?k)?, nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 均匀分布 1，即 b?a?1a≤x≤b ,?f(x)??b?a 其他， ?0,?则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， x 概率论与数理统计 公式（全） 指数分布 f(x)? ?e??x, x?0, 0, x?0, 其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 ??x 1?e, x?0, F(x)? 0, x<0。 记住积分公式： ???x0ne?xdx?n! 正态分布 设随机变量X的密度函数为 2?????0为常数，?其中、则称随机变量X服从参数为?、2X~N(?,?)。 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?12??22X~N(?,?)(t??)X的分布函数为 ?若x，则12?2F(x)?edt???2??。 为最大值； 参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 1?2?(x)?e2?，???x???， 分布函数为 ?(x)?1x2????(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 ?e?t22dt。 1。 2X??2如果X~N(?,?)，则~N(0,1)。 ??x2????x???P(x1?X?x2)???????1?。 ??????（6）分位下分位表：P(X???)＝?； Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝数 上分位表：P(X???)＝?。 1 概率论与数理统计 公式（全） （7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,?,xn,?X ， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称?为离散型随机量。 设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?) 为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 ? ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? pij ? ? ? ? ? ? ? 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,?）； （2）??ijpij?1. 1