发布时间 : 星期三 文章概率论与数理统计公式更新完毕开始阅读f0398ed0551810a6f5248677
概率论与数理统计 公式（全）
?2分布 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2 i?1n的分布密度为 nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,2u?0, u?0.2我们称随机变量W服从自由度为n的?分布，记为W～?(n)，其中 ?n???2?1?x?????xedx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n?2分布满足可加性：设 Yi??2(ni), 则 Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1kt分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~?2(n), 可以证明函数 T?的概率密度为 XY/n ?n?1?n?1???2?2t??2????f(t)?1? ??n??n?n??????2?(???t???). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t1??(n)??t?(n) 1
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F分布 设X~?(n1),Y~?(n2)，且X与Y独立，可以证明22F?X/n1的概率密度函数为 Y/n2??n1?n2?????n1?2?????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2??????y?n12n1?12?n1??1?y??n2????n1?n22,y?0 0,y?0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1??(n1,n2)?1 F?(n2,n1)第四章 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 离散型 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,?,n， 连续型 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， ??E(X)?E(X)??xkpk k?1n???xf(x)dx （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) n??E(Y)??g(xk)pk k?1E(Y)????g(x)f(x)dx ?? 方差 2D(X)=E[X-E(X)]， 标准差 D(X)??[xk?E(X)]2pk kD(X)??[x?E(X)]2f(x)dx ???(X)?D(X)， 1
概率论与数理统计 公式（全）
矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)= k①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)=k?xikipi, ?????xkf(x)dx, k=1,2, ?. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期 k=1,2, ?. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为?k，的k阶中心矩，记为?k，即 即 ?k?E(X?E(X))k.=?k?E(X?E(X))k ， .= ?(xii?E(X))kpi?????(x?E(X))kf(x)dx, k=1,2, ?. 2k=1,2, ?. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 ?2P(X????)?2 ?切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X????) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CXii?1ni)??CiE(Xi) i?1n（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C 2（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22（4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 0-1分布B(1,p) 期望 方差 （4）常见分布1
p p(1?p) 概率论与数理统计 公式（全）
的期望和方差 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) np np(1?p) ? 1 p? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) nM Na?b 2均匀分布U(a,b) (b?a)2 12指数分布e(?) 正态分布N(?,?) 21 ?1?2 ? n 0 ?2 2n ?2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n?2??E(X)??xipi? i?1E(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1nE(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy ??方差 D(X)??ij[xi?E(X)]pi? 2D(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx ????D(Y)??[xj?E(Y)]2p?j D(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??1