发布时间 : 星期六 文章2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数()第2节函数的单调性与最值课时跟踪检测理更新完毕开始阅读f102ef6c0522192e453610661ed9ad51f01d5431
第二节 函数的单调性与最值
A级·基础过关 |固根基|
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2)
B．y＝－x＋1 1
D．y＝x＋
?1?C．y＝?? ?2?
2
xx解析：选A 函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
?1?A．?－，＋∞? ?4??1?C．?－，0? ?4?
增；
?1?B．?－，＋∞? ?4??1?D．?－，0? ?4?
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递
1
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
a4
?1?综上，实数a的取值范围是?－，0?.
?4?
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x?1?－1) ?12?A．?，? ?33??12?C．?，? ?23? ?12?B．?，? ?33??12?D．?，? ?23? 1??解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1) 所以0≤2x－1<，解得≤x<. 323 4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)， f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π) 5．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0 ?1?A．?0，? ?2? ?1?C．(－∞，0)∪?，＋∞? ?2? B．[a，1] D．[a，a＋1 ] ?1??1?解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和?，＋∞?上单调递减，而在?0，?上单调递 ?2??2? 增． 又因为当0 2?2? 6．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a A．－1 C．6 B．1 D．12 2 解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 当1 因为f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在定义域内都为增函数，且f(1) log1x，x≥1，?? 7．函数f(x)＝?2的值域为________． ??2x，x<1 3 3 3 解析：当x≥1时，log1x≤0；当x<1时，0<2<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0] 2＝(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 8．函数f(x)＝x＋2x－1 的值域为________． 1 解析：由2x－1≥0，得x≥， 2 x?1?∴函数的定义域为?，＋∞?. ?2? ?1?又函数f(x)＝x＋2x－1在?，＋∞?上单调递增， ?2? 1?1?1 ∴当x＝时，函数取最小值f??＝， 2?2?2 ?1?∴函数f(x)的值域为?，＋∞?. ?2??1?答案：?，＋∞? ?2? 9．已知f(x)＝ xx－a(x≠a)． (1)若a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：任取x1 x22（x1－x2）－＝. x1＋2x2＋2（x1＋2）（x2＋2） ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) x1 a（x2－x1） . x1－ax2－a（x1－a）（x2－a） －＝ x1x2 ∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0，1]． 10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值； (2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x－1)>2的x的取值集合． 解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1 x∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数. (3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2， ?x2??x1??x2??x1? x2x1 ?x2??1? ?1??1?又f(4)＋f??＝f(1)＝0，∴f??＝2. ?4??4? 又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， 1??3x－1<，4解得1 312 ??3x－1>0， ?15?故满足要求的x的取值集合为?，?. ?312? B级·素养提升 |练能力| 11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 xx3 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3 解析：选A 若函数f(x)＝a在R上为减函数，则有0 12．已知在函数f(x)＝lg(a－b)＋x中，常数a，b满足a>1>b>0，且a＝b＋1，那么f(x)>1的解集为( ) A．(0，1) C．(1，10) xxxx3 xB．(1，＋∞) D．(10，＋∞) ?a?解析：选B 由a－b>0，a>1>b>0，得??>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0， ?b? ＋∞)．因为a>1>b>0，所以y＝a单调递增，y＝－b单调递增，所以t＝a－b单调递增．又 xxxxxy＝lg t单调递增，所以f(x)＝lg(ax－bx)＋x为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a－b) ＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B． 13．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝ f（x） 在区间I上是减函数，那x12 么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x23 －x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( ) 2 A．[1，＋∞) C．[0，1] B．[0，3] D．[1，3] 123 解析：选D 因为函数f(x)＝x－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1， 22＋∞)上是增函数．又当x≥1时， 2 f（x）1313 ＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，则g′(x)x22x22x13x－3f（x）13 ＝－2＝3，即函数＝x－1＋在区间[1，3]上2，由g′(x)≤0，得1≤x≤22x2xx22x单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]．故选D． 14．定义运算：x2 ??x，xy≥0， y＝?例如：3?y，xy<0，? 4＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2 (2x－x)的最大值为________． 解析：由已知，得f(x)＝x2 2 2 2 (2x－x)＝ 2 2 ???x，x（2x－x）≥0，?x，0≤x≤2， ?＝?易知函数f(x)的最大值为4. 2222?2x－x，x（2x－x）<0??2x－x，x<0或x>2，? 答案：4