发布时间 : 星期四 文章我的精品题库试题 (曲一线科学备考)_20140104_211005更新完毕开始阅读f171befb0c22590102029dac
曲一线科学备考
解得或
所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+
=n2-n+10.
当n=2时,满足此式,
综上,Sn=
7.(1)当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值,即
8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,
从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).
又a1=S1=,所以an=-n.
(2)因为bn==,
Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,
所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-
. 8.(1)因为f(x)=x4+bx2+cx+d,
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所以f '(x)=x3-12x+c. 设h(x)=x3-12x+c,(2分) 由题意知,方程h(x)=0有三个互异的实根,∵h'(x)=3x2-12,令h'(x)=0,得x=±2. x h'(x) h(x) 所以
(-∞,-2) + 增 -2 0 c+16(极大值) 故-16
(-2,2) - 减 2 0 c-16(极小值) (2,+∞) + 增 (2)存在c∈(-16,16),使f '(x)≥0,即x3-12x≥-c, 所以x3-12x>-16,即(x-2)2(x+4)>0,(*) 在区间[m-2,m+2]上恒成立. (6分) 所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以或m-2>2,即-2或m>4. (8分)
(3)证明:由题设,可得存在α,β∈R,使f '(x)=x3+2bx+c =(x-t1)(x2+αx+β),且x2+αx+β≥0恒成立. (9分) 又f '(t2)=0,且在x=t2两侧同号, 所以f '(x)=(x-t1)(x-t2)2. (10分)
另一方面,g'(x)=x3+2bx+c-(x-t1)=x3+(2b-1)x+t1+c=(x-t1)[(x-t2)2-1]. 因为t12,且t2-t1<1,所以-11-t22<0.
所以0<(x-t2)2<1,所以(x-t2)2-1<0,而x-t1>0, 所以g'(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)内单调递减.
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点. (12分) 9.(Ⅰ)由题意得,直线AB的方程为bx+ay-ab=0(a>b>0),(1分)
由=及=,得a=2,b=1. (3分)
所以椭圆的方程为+y2=1. (4分)
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(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,M(0,-1),N(0,1),易知符合条件,此时直线l的方程为x=0. (6分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,
代入+y2=1得(9+36k2)x2+120kx+64=0.
由Δ=14 400k2-256(9+36k2)>0,解得k2>.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,① x1x2=由
=4
,②(9分) 得x1=4x2,③(10分)
由①②③消去x1,x2,得=,
即=1,无解.
综上,存在符合条件的直线l,且其方程为x=0. (12分) 10.(1)证明:由题设知,F,C,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+, 代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. 则y1+y2=2pm,y1y2=-p2. (4分) 不妨设y1>0,y2<0,则
tan∠ACF=====,
tan∠BCF=-=-,
∴tan∠ACF=tan∠BCF,又∠ACF,∠BCF∈(0,π),
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∴∠ACF=∠BCF. (8分) (2)如(1)所设y1>0,tan∠ACF=,∠ACB=2∠ACF取最大值, ≤=1,当且仅当y1=p时取等号,此时∠ACF取最大值
并且A,B,|AB|=2p. (12分)
失分警示:(1)不能准确地得出∠ACF与∠BCF的正切值.
(2)没有注意到∠ACF取得最大值时,y1=p. 11.(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则解得
所以椭圆方程为+y2=1. (4分)
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,OP,OQ的斜率存在, 故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0且m≠±1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且x1+x2=,x1x2=.
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以·=
=k2,
即
+m2=0,
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