发布时间 : 星期四 文章我的精品题库试题 (曲一线科学备考)_20140104_211005更新完毕开始阅读f171befb0c22590102029dac
曲一线科学备考
又m≠0,所以k2=,即k=±. 又m≠±1,且Δ>0,∴02<2
且m2≠1.
又S△OPQ=|x1-x2||m|=|m|=,所以S△OPQ的取值范围为(0,1). (12分) 失分警示:根据直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列求出k的值,从而用m表示出S△OPQ. 12.(1)由题意知2c=2,c=1.
因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1,故a=, 所以所求椭圆方程为+y2=1. (3分) (2)因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,
所以原点O到直线l的距离为=1,即m2=k2+1. (5分) 由
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. (7分)
λ=·
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=,由≤λ≤,得≤k2≤1,
即k的取值范围是∪. (9分)
(3)|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=2-
,由≤k2≤1,得
≤|AB|≤. (11分)
设△OAB的AB边上的高为d,则S=|AB|d=|AB|,
所以≤S≤. (12分)
失分警示:(1)没有将几何关系转化为代数式;(2)计算时不细心或不耐心. 13.f
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'(x)=+x-(1+a)==.
(1)当a≤0时,若0则f '(x)<0,若x>1,则f '(x)>0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);
当0时,随着x的变化, f '(x),f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (0,a) + 单调递增 a 0 极大值 (a,1) - 单调递减 1 0 极小值 (1,+∞) + 单调递增 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+∞),单调递减区间是(a,1). 当a=1时,f '(x)=≥0,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞); 当a>1时,同理可得,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞),单调递减区间是(1,a). (4分) (2)由于f(1)=--a,显然当a>0时, f(1)<0,此时f(x)≥0不是恒成立的;当a≤0时,根据(1)知,函数f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值,为f(1)=--a,此时只要f(1)≥0即可,解得a≤-,
故实数a的取值范围是. (7分)
(3)证明:由(2)得,当a=-时, f(x)=-ln x+x2-·x≥0,当且仅当x=1时等号成立,即ln x≤x2-x,当x>1时,可以变换为
>
=
,(9分)
在上面不等式中分别令x取m+1,m+2,…,m+n, 然后不等式两边再相加得
+
+…+
+…+=-=
>
.
++…+=+
所以++…+>. (12分)
失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在证明第(3)问时,没有注意到(2)的结论. 14.（Ⅰ）函
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数的定义域是，，
令，解得；
令，解得.
当变化时，的变化如下表所示： - 1 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 由表知，函数------（4分） 单调递减区间是，单调递增区间是，的极小值为. （Ⅱ）函数的定义域是，，
当时，，∴，
∴在上是增函数. ------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在上的最小值为，
∴，，
由（Ⅱ）知函数在上的最大值是，
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∴， 即不等式成立. ------（10分） 15.（1）函数的定义域是
.，
，……..3分
令，解得；令，解得. 所以函数的单调递增区间为（-1,3），单调递减区间为（3,+∞）. ……….5分
（2）函数的定义域是， .
，
此时函数在定义域上是减函数，不存在极值点. ……..7分
当时，关于的方程
令，解得，………………9分
则，
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