发布时间 : 星期五 文章《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案更新完毕开始阅读f1854de52f3f5727a5e9856a561252d381eb200d
第2章 对偶规划（复习思考题）
1．对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？
答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2．什么是资源的影子价格？它与相应的市场价格有什么区别？
答：若以产值为目标，则yi是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。
3．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
答：（1）最优性定理：设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解，且CX?bTY，则X,Y分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。
（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为XS和YS，它们的可行解X*,Y*为最优解的充分必要条件是Y*XS?0,YSX*?0．
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。若?YS对应于原问题决策变量x的检验数，则?Y对应于原问题松弛变量xS的检验数。
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4．已知线性规划问题
maxZ?4x1?x2?2x3
?8x1?3x2?x3?2（第一种资源）?s.t. ?6x1?x2?x3?8（第二种资源）
?x,x,x?0?123（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。 （2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变？
（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？
解：（1）标准化，并列出初始单纯形表
cj 4 b 2 8 x1 1 x2 2 x3 0 x4 0 ?i CB XB x5 0 0 x4 x5 [8] 6 4 3 1 1 3/8 －5/4 －1/2 3 －2 －5 1 1 2 [1/8] 1/4 3/2 1 0 0 1 0 0 1/8 －3/4 -1/2 1 －1 －2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2/8 8/6 2 26 ?j 4 0 x1 x5 1/4 13/2 1 6 0 ?j 2 0 x3 x5 2 6 8 －2 －12 ?j X*?(0,0,2,0,6)T，由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：即x1?0,x2?0,x3?2，
最优值为Z?4．
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（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：
y1?2,y2?0,w?4．
（3）两种资源的影子价格分别为2、0，表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4，最优解不会改变。
（4）代加工产品丁的价格不低于2?2?0?3?4．
5．某厂生产A，B，C，D4种产品，有关资料如表2—6所示。
表2—6
资源消耗 资源 甲 乙 丙 A 2 5 3 B 3 4 4 21 产品 C 1 3 5 15.5 D 2 4 3 16.5 资源供应量 （公斤） 800 1200 1000 原料成本 （元/公斤） 2.0 1.0 1.5 单位产品售价（元） 14.5 （1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。
（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？
（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？
（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？
解：（1）设x1,x2,x3,x4分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型
maxZ?x1?5x2?3x3?4x4
?2x1?3x2?x3?2x4?800?5x?4x?3x?4x?1200?234s.t. ?1
3x?4x?5x?3x?1000234?1??xi?0,i?1,2,3,4
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初始单纯形表
cj 1 b 800 1200 1000 x1 5 x2 3 x3 4 x4 0 x5 0 x6 0 ?i CB XB x5 x6 x7 x7 0 0 0 2 5 3 1 3 4 [4] 5 1 3 5 3 2 4 3 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 800/3 1200/4 1000/4 ?j 最末单纯形表
cj 1 b 100 200 100 x1 5 x2 3 x3 4 x4 0 x5 0 x6 0 ?i CB XB x5 x7 0 4 5 1/4 2 -3/4 -13/4 0 0 1 0 -13/4 -2 11/4 -11/4 0 1 0 0 1 0 0 0 1/4 1 -3/4 -1/4 -1 -1 1 -1 x4 x2 ?j 解得最优解为：X*?(0,100,0,200,100)T，最优值Z?1300． （2）原问题的对偶问题的数学模型为
y1?1200y2?1000y3 minw?800?2y1?5y2?3y3?1?3y?4y?4y?5123??s.t.?y1?3y2?5y3?1 ?2y?4y?3y?423?1??y1,y2,y3?0解得影子价格分别为2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。
（3）原料丙可利用量在[900,1100]范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。
（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。
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