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第二章 波函数和薛定谔方程
§2.1 学习指导
本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。
根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述，
vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t)，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数
vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方|?(r,t)|2表示波的
强度；量子情况下，|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。
波函数随时间的变化由薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。
真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。
本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数
波函数?(r,t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。实际体系波函数满足平方可积条件，即2）波函数的意义
波函数的模方
vv???v2?(r,t)d??N2??。
vv2w(r,t)??(r,t) （2-1）
给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件
v???v2?(r,t)d??1 (2-2)
未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。 3）波函数的性质
1
波函数?(r,t)满足叠加原理，如果?i(r,t),i?1,2,L为微观粒子的可能状态，则
?(r,t)?也是一个可能的状态。 2. 微观状态的演化 1）薛定谔方程
状态?(r,t)随时间演化满足薛定谔方程 ihvvv?iivc?i(r,t),ic? C (2-3)
v?vv?(r,t)??H?(r, t ) (2-4) ?t2v???h?2?U(r,t) (2-5) 其中 H2m称为哈密顿算符，U(r,t)是势能。若已知初始状态?(r,0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态?(r,t)。 2）连续性方程
由薛定谔方程可以推出连续性方程
vvvv?w??J??0 (2-6) ?tvih(?????????) (2-7) 其中J??2m称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。连续性方程是概率守恒定律的定域表现。 3）定态薛定谔方程
?不显含时间，即势场U不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到 若体系的哈密顿Hvv?hEt定态波函数解 ?E(r,t)??E(r)e (2-8)
其中E为能量本征值，?E(r)为对应的本征函数，满足定态薛定谔方程
ivh22vvvv??E(r)?U(r)?E(r)?E?E(r) (2-9) ?2m3. 一维束缚定态问题 1）问题的描述
一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成
2
?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2 (2-10) 2mdx?x????(x)????0?其中束缚态能量满足条件E?U(??)。 2）束缚定态解的性质
束缚定态中的能量取值不连续，形成能级。同一能级只对应一个本征函数，无简并现象。第n个能级En,n?N对应的本征函数?n(x)有n个内部零点（不包括边界）。
束缚态本征函数?n(x)可以归一化，归一化后的本征函数满足正交归一性
????*?m(x)?n(x)dx??m,n (2-11)
本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数?(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即
?(x)??ncn?n(x) (2-12)
其中展开系数为
*cn???n(x)?(x)dx (2-13)
???3）典型实例：一维简谐振子
一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为
U(x)?2kx?2m?x (2-14) 在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为
12122En?(n?1)h?,n?N (2-15) 2对应的本征函数为
?n(x)?Nne1??2x22Hn(?x) (2-16)
其中Hn(x)为厄密多项式，参数??m?/h，归一化系数 Nn??/简谐振子的本征函数满足递推关系
?2nn!。
x?n(x)?1?[n?(x)?2n?1n?12?n?1(x)] (2-17)
d?n(x)??[n?(x)?2n?1dx4. 一维散射问题 1）问题的描述
n?12?n?1(x)]3
以能量E?U(??)自左边向势场U(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件
?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2 (2-18) ?2mdxx???x????(x)????Aeikx?A'e?ikx,?(x)????Ceik'x?其中k?2m[E?U(??)]/h2为入射波波数，k?2m[E?U(??)]/h2为透射波波数。
2）问题的意义
在上面的问题中，入射波的概率流密度为J?hk|A|2/m，反射波的概率流密度为
JR??hk|A'|2/m，透射波的概率流密度为JD?hk'|C|2/m。由此得到反射系数R和
透射系数D分别为
JR|A'|2JDk'|C|2 (2-19) R?||?,D?||??22J|A|Jk|A|3）典型实例：粒子对方势垒的透射
能量为E的粒子入射到一个宽度为a，高度为U0的方形势垒
?U0,0?x?aU(x)?? (2-20)
0,x?0,x?a?反射系数和透射系数分别为
22(k12?k2)sin2k2a4k12k2，D?2 (2-21) R?22222(k1?k2)sin2k2a?4k12k2(k1?k2)sin2k2a?4k12k2其中 k1?2mE/h2,k2?2m(E?U0)/h2。
§2.2 习题分析与求解
2.1 证明在定态中, 概率流密度与时间无关. 【题意分析】
vv?Et已知条件：粒子处于定态，波函数为?(r,t)??(r)eh (2.1-1) v待证问题：概率流密度J与时间无关；
相互联系：概率流密度与波函数之间具有关系（2-7） 【求解过程】
将定态波函数的一般形式(2.1-1)式代入概率流密度公式(2-7)，得到
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