发布时间 : 星期四 文章平面几何讲座1更新完毕开始阅读f1c2bdb9f121dd36a32d82e9
此图是用直角三角形做的非周期镶嵌的一个例子。 数学家相信,如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话,那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌,但是,并未证明。1964年,发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖,这套瓷砖含有20000种不同的形状。自然,人们会问:有无更少的瓷砖,用它们只能做非周期的镶嵌呢?
? 尝试探究,训练思维
15、①△ABC内有一点P,如果△PAB、△PAC和△PBC的面积比为7︰7︰1,则确定点P位置的方法是____。
②将以上面积比改为1︰2︰3,如何确定P点的位置? ③一般情况下,如果面积比改为m︰n︰p,又怎样? 本题可从以下这个简单的性质讲起
16、三角形PAB中,M为AB上任意一点,Q为PM上任意
一点。则:
S?PAMS?QAMAMS?PAQ ???S?PBMS?QBMBMS?PBQ17、请用面积法证明三角形三条中线交于一点。
18、请证明三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,若AD:DB=AE:EC,连结CD与BE,交点为O,则AO是三角形ABC的一条中线。
19、由15题引入(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 AAZBXCY
??Z ZBXCYA等于1。
Y
P
CBX? 积累模型,解一通一 A以下是一系列与面积有关的问题
20、如图,已知三角形ZBP、PBX、PXC的面积分别为3、4、8,求三角形面积. ZY
P
CBX
21、如图,△ABC中,AD、BE相交于点O,BD :CD=3 :2, AE:CE = 2 :1.那么S⊿BOC :S⊿AOC :S⊿AOB 为
(A)2 :3 :4 (B)2 :3:5 (C)3 :4:5 (D)3 :4 :6
22、如右图,四边形ABCD中,对角线AC, BD交于O点. 已知AO =1,并且
那么OC的长是多少?
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23、如下图1所示,三角形ABC中,点X,Y,Z分别在线段AZ,BX, CY上,且
YZ?2ZC,ZX?3XA,XY?4YB.三角形XYZ的面积等于24,求三角形ABC的面积.
图1
ABC图2 图3
24、如图2所示,已知S?1.BF?2AF,CD?2BD,AE?2CE.求图中阴影部分
PMN的面积.
25、ABC的面积是1.如图3所示。AD?DE?EC,BG?GF?FC.求三角形ABC被分割成的九个小图形的面积.
? 分组分类,强化训练 组别1 26、从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形. 如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片再剪下边长尽可能大的正方形. 按照上面的过程,不断地重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?
27、将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差,称为一次操作。如对18和42可连续进行这样的操作,则有: 18,42?18,24?18,6?12,6?6,6。直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数,按照以上操作,最后得到的相同的数是15。这两个五位数是______与______。
28、在长260米,宽150米的台球桌上,有A,B,C,D,E,F六个球袋.其中AB = EF =130厘米.现在从A处沿方向击出一球,碰到桌边后又沿方向弹出,当再碰到桌边后仍沿方向弹出.假设球可以如此继续下去一直运动到落入某个球袋为止.问:球将落入哪个球袋中?
组别2
29、红刻度线将木棍分成10等分;黑刻度线将木棍分成12等分。现在按照刻度线把木棍锯成小木条,问有多少条小木条?
30、在一根长木棍上有两种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份,第二种刻度线将木
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棍分成m等份,如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成20段。求m的值。
31、在一根长木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份,第二种刻度线将木棍分成十二等份,第三种刻度线将木棍分成m等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成30段。求m的值。
32、一根长为L的木棍,用红色刻度线将它分成m等份,用黑色刻度线将它分成n等份(m>n)。如果按刻度线将该木棍锯成小段,一共可以得到170根长短不等的小木棍,其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。
组别3
33、一根长线将他对折在对折,一共对折10次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成10
等分。问:得到不同长度的短线段各多少根?
34、一根长线将他对折在对折,一共对折m次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成n等
分,得到2种不同长度的短线段,若较长的线段的数量占
1.问:最大的m=? 1135、一根红色的长线,将它对折,再对折,……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间
剪断,得到一些红色的短线;一根白色的长线, 经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些白色的短线(m>n)。若红短线的数量与白短线的数量之和是100的倍数,试问:红色短线至少有多少条?
36、一根红色的长线,将它对折,再对折,……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间
剪断,得到一些红色的短线;一根白色的长线, 经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些白色的短线(m>n)。若红短线的数量与白短线的数量之差是100的倍数,试问:红色短线至少有多少条?
第三部分 中国数学奥林匹克历届等级考试(江苏)的几何试题
37、如图,三圆的半径都为R,它们的圆心C1,C2,C3在同一条直线上,且每一圆心都在另一圆的圆周上.⊙C4与这三个圆相切,半径为r.则R:r??
?A?15:4 ?B?11:3 ?C?4:1
C4?D?3:1.
解:C. 由
C12C2C3?C1C4?2??C1C2???C2C4?222得
?R?r??R2??R?r?.化简即得.
38、有一种足球是由32块黑色与白色的牛皮缝制而成,黑牛皮是正五边形,白牛皮是正六边形,且所有牛皮的边长都相等.则白牛皮的块数为?
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?A?12
?B?16
?C?20
?D?24
解:C.
?x?y?32?设黑牛皮有x块,白牛皮有y块.则?5x?6y. 5x?6y?32??2?2?3解之方程组可得x?12,y?20.
39、已知锐角三角形ABC的三个内角满足A?B?C.用?表示A?B,B?C及90??A中的最小值,则?的最大值为 .
解:15?.
由 ??3??2???3?90??A??2?A?B???B?C??
66270???A?B?C???15?.
6等号成立条件:90??A?A?B?B?C?15?,即A?75?,B?60?,C?45?.
40、n条直线两两相交,但任何三条不共点,这样n条直线将平面分成的区域数为 .
解:
1n(n?1)?1. 2记n条直线把平面分成f?n?个区域.则f?1??2,f?2??4.
第n?1条直线与前n条直线有n个交点,这n个交点把第n?1条直线分成n?1段,每一段都把原来的某个区域一分为二.所以 f?n?1??f?n??n?1.
∴ f?n??2?2?3?4???n?1??n?1n?n?1??1. 2
41、平面上有6个圆,每个圆的圆心都在另外5个圆的外部,证明:平面上不存在同时在6个圆内部的点. BC
AD
P
FE证明:假设存在点P同时在6个圆的内部.
设6个圆的圆心依次(按逆时针方向排列)为A,B,C,D,E,F.考察相邻两点对点P 8