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第三章 参数估计
2、区间估计：一般可用在食品及药品某些主要指标的含量、产品的使用寿命（均值）以及离散程度等数字特征，用抽样的样本去推断总体的特性。设总体为X,含未知参数θ，
X1,X2,......,Xn 是样本，?i??i?X1,X2,....,Xn?,i?1,2，都是样本的函数（不含任何
未知参数），对0
的置信区间，?1,?2分别为置信上下限。以上过程称为对?的区间估计，可分为双侧与单侧区间估计。由中心极限定理，一般假设总体
n样本之和
?Xi?1?Xi标准化后i?1ni?n?近似服从标准正态分布。故对单个总体的未知参数
n??，?2，可按正态分布作区间估计，其估计量分别用?及?2表示。
例1:某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。测得干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时；设总体X的干燥时间服从一般正态分布，即
2X~N??,?2? 。
（1）若?=0.36，求总体平均干燥时间?的95%的置信区间；
解：1、 总体的方差?已知， 对?作区间估计，
2
取统计量及分布： U?X???n~N(0,1)，
2 、对??0.05，查表取Z?/2?Z0.025?1.96，
双侧区间估计，如图
1
使P3、 将U??U??Z?/2??1??，
n 代入并解不等式，有：
X?? P(?z?/2?X?????n?z?/2)?P(X??nz?/2???X??nz?/2)?1??，
则：???X???z?/2?， n?4、 由样本值：
1x?(6.0?5.7??5.0)?6.0, ??0.6, n?9, z0.025?1.969 ，
0.6?? ???6.0??1.96???5.608,6.392?9??5、可以认为该批产品的平均干燥时间?以95%的可能性落在区间内。
2?未知，求?的95%的置信区间。（2）
?5.608,6.392?1、?未知，用S代替?，取统计量及分布：
222T?2、对 ?X??n~t(n?1)
S?0.05，双侧区间估计，取ta/2(n?1)?t0.025(8)?2.306，
如图示，使：
P(T?t?2(n?1))?1?? 2
3、将统计量代入P(?t?/2(n?1)?X??n?t?/2(n?1)) S ?P(X? SSt?/2(n?1)?u?X?t?/2(n?1))?1?? nn则有 ??[X?4、代样本值，x2St?/2(n?1)]。 n?6.0，
?n112S?(?xi?nx2)?(6.02?5.72?.....?5.02?9?62)?0.33，
n?1i?19?1S?0.574， t0.025(8)?2.306, n?9，
???6.0???0.574?2.306???5.558,6.442?， 9?5、可以认为该批产品当方差未知时，平均干燥时间
?以
95%的可能性落在区间
?5.558,6.442?内。
（3）求?的95%的置信区间。
1、取统计量及其分布，
2??2n?1?2s2~?2(n?1，)
2、对??0.05，双侧区间估计， 取??/2(n?1)?2222?0.025(8)?17.535, ?12??/2(n?1)??0.975(8)?2.18，
使P(?1??/2(n?1)?如图：
2?2???/2(n?1))?1??，
3
23、代??n?1?2s2有：
n?1S2??2?/2(n?1))=P(?21??/2(n?1)??2 (n?1)S2(n?1)S22P(2???2)?1????/2(n?1)?1??/2(n?1)?(n?1)S2(n?1)S2????2, 2??(n?1)?(n?1)1??/2??/2?24、由样本值：
?8?0.338?0.33?s2?0.33，n?9, ??2??,??0.1505,1.211?， ?17.5352.18??5、可以认为该批产品平均干燥时间的方差?以95%的可能性落在区间
2
?0.1505,1.211?内。
例2、单侧区间估计。
科学上重大发现往往是年轻人作出的，美国科学院统计了15世纪到20世纪12名科学伟人。
（1）哥白尼 1543年 日心学说 40岁
（2）伽利略 1600年 天文学，望远镜 34岁 （3）牛顿 1665年 三大定律，微积分 23岁 （4）富兰克林 1746年 电的本质 40岁
（5）拉瓦锡 1774年 氧气及燃烧本质 31岁 （6）莱尔 1830年 地球的演化过程 33岁 （7）达尔文 1858年 生物进化论 49岁
（8）麦克斯维尔 1864年 光 磁 电场 33岁 （9）居里 1896年 放射性 34岁 （10）普朗克 1911年 量子论 43岁
（11）爱因斯坦 1905年 广义狭义相对论 26岁 （12）薛定谔 1926年 量子论数学基础 39岁
求：重大发现伟人年龄的上限。
解： 由?未知，取统计量及分布：
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