发布时间 : 星期一 文章(统编版)2020学年高中数学第二章2.1.4平面与平面之间的位置关系学案含解析新人教A版必修9更新完毕开始阅读f202fe5192c69ec3d5bbfd0a79563c1ec4dad742
2．1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面的位置关系 [提出问题] 应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑．塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合．暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性．
问题1：立柱和地面是什么位置关系？ 提示：相交．
问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？ 提示：在同一平面内．
问题3：直线和平面还有其他关系吗？ 提示：平行． [导入新知]
直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线a在平面α内 无数个公共点 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 一个公共点 没有公共点 a?α a∩α＝A a∥α [化解疑难] 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系． (1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行． (2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．
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(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内． 2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
空间中平面与平面的位置关系 [提出问题] 观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面． 问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以．无公共点．
问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以．有无数个． [导入新知] 两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 图示 表示法 公共点个数 没有公共点 有无数个 两平面相交 α∥β α∩β＝l 公共点 (在一条 直线上) [化解疑难] 1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．
2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
直线与平面的位置关系 [例1] 下列说法： ①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( ) A．0 C．2 [答案] B
B．1 D．3
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[类题通法]
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
[活学活用]
下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 C．2 答案：C
平面与平面的位置关系 [例2] (1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问：α∥β是否正确？为什么？ (2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问：α∥β是否正确？为什么？ [解] (1)不正确．
如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α数与与
B．1 D．3
β不平行，α∩β＝l.
(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．
[类题通法]
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.
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[活学活用]
1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
答案：4 6
2.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位关系？
解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点， ∴平面ABC与平面A1B1C1平行．
∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
置
3.有关截面图形的形状问题
[典例] (12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．
[解题流程]
[规范解答]
由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲．(4分)
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙．(8分)
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