发布时间 : 星期二 文章《概率论》期中测试题参考解答更新完毕开始阅读f2110466eefdc8d376ee3282
（2）由贝叶斯公式有：
P(B2|A)?P(AB2)P(B2)P(A|B2)0.5762?0.001===0.008983 P(A)P(A)0.0641467、（6分）设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，试求:(1)A恰好发生两次的概率；(2)A至少发生两次的概率；(3)A至多发生两次的概率.
解：设X表示n次独立试验中事件A发生的次数，易知X~b(n,p)。
22（1）P(X?2)?Cnp(1?p)n?2；
（2）P(X?2)??Ci?2ninpi(1?p)n?i；
0011或P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?Cnp(1?p)n?0?Cnp(1?p)n?1
?1?(1?p)n?np(1?p)n?1；
（3）P(X?2)??Ci?02inpi(1?p)n?i；
8、（6分）从3~7五个整数中任取三个不同的数，设为x1,x2,x3，记X?min{x1,x2,x3}，求：(1)X的分布列；(2)X的分布函数； (3)P{?2?X?4}. 解：（1）随机变量X的可能取值为：3,4,5且有
22C323C4C261P(X?3)?3?；P(X?4)?3?；P(X?5)?3?。所以X的分布
C510C510C510列为：
X P ?0?6/103?x?4?（2）分布函数F(x)??；
?9/104?x?5?x?5?1（3）P(?2?X?4)?P(X?3)?P(X?4)?9/10；
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3 6/10 x?34 3/10 5 1/10
x??2?0,?0.3,?2?x?1??9、（6分）设随机变量X的分布函数为F(x)??0.5,1?x?3，求：
?0.7,3?x?7?x?7??1,（1）X的分布列；（2）E(X)；（3）Var(X).
解：（1）X的可能取值为分布函数F(x)的间断点：-2,1,3,7；
P(X??2)?F(?2)?F(?1?0)?0.3?0?0.3； P(X?1)?F(1)?F(1?0)?0.5?0.3?0.2；
P(X?3)?F(3)?F(3?0)?0.7?0.5?0.2； P(X?7)?F(7)?F(7?0)?1?0.7?0.3；
所以X的分布列为：
-2 1 3 X 0.3 0.2 0.2 P （2）E(X)??2?0.3?1?0.2?3?0.2?7?0.3?2.3； 7 0.3 （3）E(X2)?(?2)2?0.3?12?0.2?32?0.2?72?0.3?17.9；
Var(X)?E(X2)?[E(X)]2?17.9?2.32?12.61。
10、（3分）随机变量X服从泊松分布，且P(X?0)?P(X?1)，求P(X?2).
?k??解：因为X服从泊松分布，即X~P(?)，故X的分布列为：P(X?k)?e，
k!?0???1??因为P(X?0)?P(X?1)，所以有e?e，得??1，所以
0!1!12?1e?1P(X?2)?e?
2!2第 6 页 共 10 页
0?x?3?kx,?x?11、（14分）设随机变量X的密度函数为f(x)??2?,3?x?4，(1)确定常
?2其它??0,7??数k；(2)求随机变量X的分布函数；(3)求P?1?X??；（4）求E(X)；（5）
2??求Var(X). 解：（1）由1????341xf(x)dx??kxdx??(2?)dx，?k?；故
0362???x0?x?3?6,?x?f(x)??2?,3?x?4
?2其他?0,??（2）X的分布函数F(x)?P(X?x)??f(t)dt，
??x（i）当x?0时，F(x)??x??f(t)dt??0dt?0；
??xx（ii）当0?x?3时，F(x)??（iii）当3?x?4时，
F(x)??x??f(t)dt??0dt????0x0tx2dt?； 612??f(t)dt??0dt????030xttx2dt??(2?)dt?2x??3；
3624（iv）当x?4时，
F(x)??x??f(t)dt??0dt????0304xttdt??(2?)dt??0dt?1；
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0x?0??x2?0?x?3?12故F(x)?? 2?2x?x?33?x?4?4?1x?4?773x7?x41?2（3）P?1?X????f(x)dx??dx??2(2?)dx?；
11632248???71?7?2?1417?7?或P?1?X???F()?F(1)??2??????3???。
2?2????24?2??1248（4）E(X)??????xf(x)dx??304xx7x?dx??x?(2?)dx?；
3623（5）E(X2)??2????34xx37x2f(x)dx??x2?dx??x2?(2?)dx?；
0362637?7?13Var(X)?E(X)?[E(X)]?????。
6?3?182212、（3分）设随机变量X的分布列如下，试求Y?X2?X的分布列.
X P ?2 ?1 0 0.1 1 2 0.3 0.2 0.3 0.1
解：因为：
X P ?2 ?1 0 0.1 1 2 0.3 0.2 0.3 0.1 Y?X2?X 2 0 0 2 6 所以Y?X2?X的分布列为：
Y P 0 0.3 2 0.6 6 0.1 第 8 页 共 10 页