发布时间 : 星期六 文章高等代数_李海龙_习题第6章向量空间更新完毕开始阅读f218bb4be518964bce847c04
(??k?)?(??l?)?(k?l)??W1，由l?k，有
??1(k?l)??W1k?l，这与??W1矛盾．
7.设W1,W2,?,Wr是向量空间V的子空间,且Wi?V,i?1,?,r.证明:存在一个向量??V,使得??Wi,i?1,?,r.
证：对r应用数学归纳法．当r?1时，命题显然成立．假设对于r?1(r?1)时，命题,r?1)，对于r的情形：成立，即存在??V，而??Wi(i?1,2,?（1）若??Wr，命题成立，
（2）??Wr，则存在??V，而??Wr，根据第六题(??)知，?,??V，??Wr，
??Wi(i?1,2,?,r?1)，??Wr故对每一Wi，在F中最多有一个li，使得??li??Wi(i?1,?2,r?,，令l?li，则??l??Wi，根据第六题(?)得??l??Wr令
????l?，则??V而??Wi(i?1,2,?,r?1)，故命题对于一切自然数都成立．
6.3 向量的线性相关性
1.下列向量组是否线性相关: (i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7); (ii) (2,0,1,),(0,1,-2),(1,-1,1);
(iii)(2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2).
解：(i),(ii)线性无关；(iii)线性相关（利用定义或判定定理）．
?2.证明,在一个向量组??1,?2,?,?r?里,如果有两个向量?i与j成比例,即?i?kaj,k?F,那么??1,a2,?,ar?线性相关.
提示：部分组线性相关，则整体线性相关．
n3.令?i?(ai1,ai2,?,ain)?F,i?1,2,?,n.证明?1,?2,?,an线性相关必要且只要行列式
a11a21?an1a12a22?an2????a1na2n?0?ann
n? 证：a1,,?,an线性相关?有不全为零的数k1,,?,kn使i?1零解?系数行列式
kiai?0?齐次
??akj?1i?1nniji有非
aij?0．
n4.设?i?(ai1,ai2,?,ain)?F,i?1,2,?,m,线性无关.对每一个?i任意添上p个数,得到
Fn?p的m个向量.
?i?(ai1,ai2,?,ain,bi1,bi2,?,bip),i?1,2,?,m.
证明:??1,?2,?,?m?也线性无关.
?nm???aijki?0?j?1i?1?pmn?bijki?0ki?i?0????证：令i?1.得齐次线性方程组?j?1i?1 (1)要证?1,,?,?n线性无关，只要
证(1)只有零解．又齐次线性方程组只有零解．
??akj?1i?1nmiji?0(2)只有零解．(1)的解是(2)的解．所以(1)
5.设?,?,?,线性无关.证明???,???,???也线性无关.
?k1?k2?0??k1?k3?0?证：令k1(???)?k2(???)?k3(???)?0得齐次线性方程组?k3?k2?0 而它只有零
解．
6.设向量组??1,?2,?,?r?(r?2)线性无关.任取k1,k2,?,kr?1?F.证明,向量组
?1??1?k1?r,?2??2?k2?r,?,?r?1??r?1?kr?1?r,ar
线性无关.
证：令
?k?ii?1ri?0把?1,,?,?r的表示代入上式，用k1,,?,kr的线性相关证明
k1,???kr?0．
7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例: (?)如果当a1?a2???ar?0时,a1?1?a2?2???ar?r?0,那么?1,?2,?,?r线性无关. ,?,,性表示,那么r(??)如果?1,?2,?,?r线性无关,而?r?1不能由?1,?2?线
?1,?2?,?,r?,r?线性无关1.
(???) 如果?1,?2,?,?r线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. (?v)如果?1,?2,?,?r线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合.
结果：(?)是错的 (??) 是对的（可采用反证法证之），(???) 是对的（可采用反证法证
之）．(?v)是错的．
8.设向量?可以由?1,?2,?,?r线性表示，但不能由?1,?2,?,?r?1线性表示．证明，向量组??1,?2,?,?r?1,?r?与向量组??1,?2,?,?r?1,??等价．
提示：由等价的定义，先要证明两个向量可以互相线性表示．在??1,?2,?,?r?1,?r?于
??1,?2,?,?r?1,??中?1,?2,??r?1是共同的向量，当然可以互相线性表示，且??1,?2,??r?1线性表示，关键证明?r可由?1,?2,??r?1,?线性表示．
可由
9．设在向量组?1,?2,?,?r中，?1?0并且每一?i都不能表成它的前i?1个向量
?1,?2,?,?i?1的线性组合．证明?1,?2,?,?r线性无关．
证：用反证法，假设?1,?2,??r线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,?kr?1，使得k1?1?k2?2???kr?1?r?1?0，设ki是最后一个不全为零的数，即有k1?1?k2?2???ki?1?i?1?ki?i?0, 因为，?1?0，所以i?1，即不可能k1?1?0，设1?i?S,
且有上式可得?i??kk1?1???i?1?i?1kiki，即?i可由它前面的i?1个向量线性表示，与假设矛
盾．故?1,?2,??r线性无关．
10．设向量?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?,?线性相关．证明，或者?与?中至少有一个可以由?1,?2,?,?r线性表示，或者向量组??1,?2,?,?r,??与??1,?2,?,?r,??等价．
证：?1,?2,??r?,r线性相关，有 k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??kr?2r?0(?)，
(k1,k2,?,kr,kr?1,kr?2不全为零)，以下证明：kr?1,kr?2中至少有一个不为零．如果kr?1?kr?2?0则由(?)式，有k1?1?k2?2???kr?r?0，因而k1,k2,?,kr有一个不为零，这与?1,?2,??r线性无关矛盾，所以k1???kr?0，故kr?1,kr?2中至少有一个不为零．（1）若kr?1?0,kr?2?0，则由(?)式得?可由?1,?2,??r线性表示．（2）若kr?1?0,kr?2?0，则由(?)式得r可由
?1,?2,??r线性表示．（3）若kr?1?0,kr?2?0，则由(?)式有
?i??k1kkkkk?1???r?r?r?2rr??1?1???r?r?r?1?kr?1kr?1kr?1，kr?2kr?2kr?2，而?1,?2,??r是
{?1,?2,??r,?}{?1,?2,??rr}的共同向量，故{?1,?2,??r,?}与{?1,?2,??rr}等价．综上所
得 ，原名题成立．
cr,?,?r,b,使 要点：由?1,??线性相关，知存在不全为零的数a1,?a?a?ii?1ri?b??c??0显然b与c不全为零，则可能的情况有下面三种：（i）b?0,c?0这时
raia?????i????i?ii?1bi?1c,?可由?1,??r线性表示．（ii）b?0,c?0这时（iii）b?0,c?0这
r?可由?1,??r,?线性表示.所以?1,??r,?与?1,??r,?等价．时?可由?1,??r,?线性表示，
6.4 基和维数
1．令Fn[x]表示数域F上一切次数?n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3[x]的基：
(i)?x3?1,x?1,x2?x,x3?x2?2x?2?;
22(ii)?x?1,1?x,x?2x?2,x3?.
2n结果： dim(Fn[x])?n?1，(?) 不是，(??)是（提示：1,x,x,?x是Fn[x]的一个基，据
可判断(?) (??)中的多项式是否为F3[x]的基．）
2．求下列子空间的维数：
3(i)L((2,?3,1),(1,4,2),(5,?2,4))?R; 22(ii)L(x?1,1?x,x?x)?F(x); x2x3x(iii)L(e,e,e)?C[a,b].
提示：L(?1,?2,?,?n)的维数为?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数．(?)维数为235?34?22，因为124?0，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关．(??)维数为2．(???)
维数为3．