发布时间 : 星期四 文章引理1 如果效用函数u1(x),u2(x)的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数更新完毕开始阅读f21dc11bc5da50e2524d7f54
Riley和Samulson著名的Optimal Auctions中proposition5的证明不是很清晰， 我对此试图作更详细的证明但有个不等式(4)有问题（见附件），请高手指点！ 命题5 具效用函数u(x)的n人对称独立私人价值的第一价格密封拍卖的最优保留价v*随投标人的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的增加而递减，即当
??(x)/u1?(x)?rA2(x)??u2??(x)/u2?(x)时， v1*?v2*。 rA1(x)??u1证明 最优保留价是在给定投标者最优投标策略的基础上，拍卖人最大化其期望收益的保留价，即vi*是maxRi(v?)?v??[a,b]?bv?bi(v,v?)dFn?1(v)（i?1,2）的最
优解，其中bi(v,v?)是满足效用函数分别为ui(x)（i?1,2）的方程（1）和初值
b(v?,v?)?v?的解。则R2(v1*)?R1(v1*)??(b2(v,v1*)?b1(v,v1*))dFn?1(v)，两边对v1*v1*b?(v1*)?R1?(v1*)?求导数，则R2?bv1*[?b2(v,v1*)/?v1*??b1(v,v1*)/?v1*]dFn?1(v)。由于
?bi(v,v1*)/?v?(n?1)[f(v)/F(v)]ui(v?bi(v,v1*))/ui?(v?bi(v,v1*))bi(v1*,v1*)?v1*.i?1,2(3)
(2)（2）两边对v1*求偏导数，得
?(?bi(v,v1*)/?v1*)?v??(n?1)[f(v)/F(v)][1?(?ui??/ui?)(ui/ui?)]?bi(v,v1*)/?v1* 由引理2有
?(v))(?u2??(v)/u2?(v))]?(n?1)[f(v)/F(v)][1?(u2(v)/u2?(v))(?u1??(v)/u1?(v))]??(n?1)[f(v)/F(v)][1?(u1(v)/u1但
（
4
）
实
际
(4) 上
是
?(v?b2(v)))(?u2??(v?b2(v))/u2?(v?b2(v)))]?(n?1)[f(v)/F(v)][1?(u2(v?b2(v))/u2?(v?b1(v)))(?u1??(v?b1(v))/u1?(v?b1(v)))]??(n?1)[f(v)/F(v)][1?(u1(v?b1(v))/u1成立吗？
因此?ln(?b1(v,v1*)/?v1*)/?b2(v,v1*)/?v1*)/?v?0，
ln(?b1(v,v1*)/?v1*)/?b2(v,v1*)/?v1*)及?b1(v,v1*)/?v1*)/?b2(v,v1*)/?v1*在v?[v1*,v]上单调增加。
对（3）两边的v1*求导数，则有?bi(v,v1*)/?v|v?v1*??bi(v,v1*)/?v1*|v?v1*?1，由于bi(v1*,v1*)?v1*，由方程（2）得?bi(v,v1*)/?v|v?v1*?0，所以?bi(v,v1*)/?v1*|v?v1*?1，于是?b1(v,v1*)/?v1*)/?b2(v,v1*)/?v1*??b1(v,v1*)/?v1*)|v1*/?b2(v,v1*)|v1*/?v1*?1，
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?(v1*)?R1?(v1*)?0，所以?b1(v,v1*)/?v1*)??b2(v,v1*)/?v1*在v?[v1*,v]成立。而v1*R2?(v1*)?0，所以R2?(v1*)?0，因此效用函数是效用函数为u1(x)的最优保留价，R1为u2(x)的最优保留价v2*?v1*。证毕。
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