发布时间 : 星期四 文章1990-2017考研数学二历年真题word版更新完毕开始阅读f23db6f631d4b14e852458fb770bf78a65293a88
2（2）方程f(x)?f??(x)??f?(x)??0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （20）（本题满分11分）
已知平面区域D???x,y?x2?y2?2y，计算二重积分???x?1?dxdy
2?D（21）（本题满分11分）
设y(x)是区间(0,)内的可导函数，且y(1)?0，点P是曲线L:y?y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP)，法线与x轴相交于点(XP,0)，若Xp?YP ，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。 （22）（本题满分11分）
三阶行列式A?(?1,?2,?3)有3个不同的特征值，且?3??1?2?2 （1）证明r(A)?2
（2）如果???1??2??3求方程组Ax?b 的通解
（23）（本题满分11分）
设f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标准
22型为?1y1??2y2 求a的值及一个正交矩阵Q.
32222
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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合要求的.
（1） 设a1?x(cosx?1)，a2?xln(1?3x)，a3?3x?1?1.当x?0?时，以
上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是
（A）a1,a2,a3. （B）a2,a3,a1. （C）a2,a1,a3. （D）a3,a2,a1.
（2）已知函数f(x)???2(x?1),x?1,则f(x)的一个原函数是 x?1,?lnx,?(x?1)2,x?1.?(x?1)2,x?1.（A）F(x)??（B）F(x)??
x(lnx?1),x?1.x(lnx?1)?1,x?1.???(x?1)2,?(x?1)2,x?1.x?1.（C）F(x)??（D）F(x)??
?x(lnx?1)?1,x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.1+?111exdx，②?exdx的敛散性为 （3）反常积分①?22??x0x0（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散. （C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点. （B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点. （C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点. （D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.
（5）设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线
y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点处曲线y?f1(x)的曲率
大于曲线y?f2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有
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（A）f1(x)?f2(x)?g(x) （B）f2(x)?f1(x)?g(x) （C）f1(x)?g(x)?f2(x) （D）f2(x)?g(x)?f1(x)
ex（6）已知函数f(x,y)?，则
x?y（A）fx?fy?0 （B）fx?fy?0 （C）fx?fy?f （D）fx?fy?f
（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似
222（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正、负惯性指数分
''''''''TT?1?1TT?1?1别为1,2，则
（A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1
（D）a?1与a??2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
x32?arctan(1?x)的斜渐近线方程为____________. （9）曲线y?21?x
（10）极限lim
（11）以y?x?e和y?x为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
2x2112n(sin?2sin?L?nsin)?____________.
n??n2nnn - 11 -
（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?(x?1)?22?x0f(t)dt，则当n?2时，
f(n)(0)?____________.
（13）已知动点P在曲线y?x上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标
时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.
3?a?1?1??110?????（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?_________. ???????1?1a????101??解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）
设函数f(x)??10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y) 的极值. （18）（本题满分10分）
22x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD
（19）（本题满分10分）
xx已知y1(x)?e，y2(x)?u(x)e是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的解，若
nu(?1)?e，u(0)??1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
3????x?cost?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x0?t??围成的平面区域，3?2???y?sint?2轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
（21）（本题满分11分）
3?3?cosx的一个原函数f(0)?0。 ]上连续，在(0,)内是函数
222x?3?3?（Ⅰ）求f(x)在区间[0,]上的平均值；
2已知f(x)在[0, - 12 -