发布时间 : 星期一 文章《相似三角形》知识点整理与做题方法#优选.更新完毕开始阅读f306e84fad45b307e87101f69e3143323968f58c
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A．5 B．12 C．10 D．15 解析：
因为G为△ABC的重心，所以DG︰DA=1︰3，因为GE⊥BC，AF⊥BC，所以GE∥AF，所以GE︰AF=DG︰DA=1︰3，因为GE=5，所以AF=15． 6、相似三角形的综合运用
例6、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．
求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．
分析：
(1)△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可； (2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)． 证明：
(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．
(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴
AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．
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点拨：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．
例7、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
求证：．
分析：
待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比． 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2． ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°， ∴△ABE∽△ACF，
点拨：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；
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例8、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC于点P．
求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．
分析：
要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例． 证明：
(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．∵BP⊥MC，∴△PBM∽△PCB．
点拨：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论
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一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
bd? ac acdcab ??ad?bc??或? bdbacd （比例基本定理） a?bc?d合比性质： ? bdacma?c???ma????(b?d???n?0)?等比性质:? bdnb?d???nb涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 全等三角形的判定 相似三角形 的判定 SAS 斜三角形 SSS AAS（ASA） 直角三角形 HL
两边对应一条直角边三边对应两角对应成比例夹与斜边对应成比例 相等 角相等 成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相
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