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大学物理B(1)读书报告——水工01班 陈龙
蝴 蝶 的 力 量
——浅谈混沌科学及其应用
清华大学 水利水电工程系 水工01班 陈龙 2010010224
前言:众所周知，300多年前，牛顿的万有引力定律和他的三大力学定律将天体
的运动和地球上物体的运动统一起来了。人们开始认为：在物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）就完全决定了，并且可以预测了。这就是所谓的“决定论的可预见性”（在一些书中也叫做“线性系统的可预见性”）。牛顿力学于是被奉为近代科学的典范。然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，牛顿力学的真理性收到了一定能够范围的限制。 其主要有三大限制性:
(1)19世纪末20世纪初，由于爱因斯坦的相对论方程的出现，人们知道了牛顿力学不能反映高速运动的规律，于是，光速c成为牛顿力学应用的第一个限制。
（2）20世纪，人们又发现微观粒子的运动也不遵循牛顿力学的规律，随着
量子力学中的薛定谔方程的出现，普朗克常量h成为了牛顿力学的第二个限制。
（3）早在20世纪初，人们就发现，牛顿力学在研究复杂系统时遇到了困
难。美国数学家庞加莱（Poincare H）发现，精确处理“三体问题”的过程中，牛顿力学遇到了困难。于是，复杂非线性系统的运动的不可预见性成为了牛顿力学的第三大限制，即接下来我们将进一步探究的“混沌科学”这一新兴交叉学科。
混沌的出现，让我们了解到现实的世界是一个有序与无序相伴、确定性和随机性统一、简单与复杂一致的世界。以往那些追求有序、精确、简单的观点是不全面的。我们面临的是一个复杂纷纭的运动的世界，应该用一门“关于过程和演化的科学”来描绘一个客观的真实的世界。
关键字：不可预测性 初值敏感性 决定论非周期流 耗散系统
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KAM定理 保守系统 Li-Yorke定义 逻辑斯蒂模型
文章结构：
热力学平衡中的混沌态20世纪之前混沌学的研究历史20世纪初至1977年1978年至今贝纳对流不稳定性问题卡曼涡街混沌现象举例及其共性混沌学的现状与展望庞加莱的“三体问题”非周期流与KAM定理奇怪吸引子与Yi-Yorke定义虫口方程：逻辑斯蒂模型混沌学的引出与介绍激光器振荡化学反应生物系统自组织现象
正文： 混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物
相混成而未相离”(《易经》)，“窈窈冥冥”、“默默昏昏”（《庄子》）。从中我们可以看出，混沌最初进入科学领域是与以精确著称的数理科学无缘的，混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念，它来源于神话传说与哲学思辨。特别是在古希腊和古代中国的哲学论中，这种认识是十分接近的。如在古希腊的早期的自然哲学和宇宙论中，混沌被看做是原始的混乱和不成形的物质，例如吧无定形的水或者是气看作是世界的始基，有序世界就是从这样的始基发展而来的。宇宙的创造者也正是用这种物质创造出秩序井然的宇宙。
我们先对混沌下一个比较准确的定义。一般来说，混沌是一种看似
没有规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需要任何随机因素亦可出现类似随机的行为（内在随机性）。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。
随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是计算机应用技术的不断创新
与突破，混沌作为一门新兴交叉学科在此基础上取得了长足的发展与进
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步。
在现代的物质世界中，混沌现象无处不在，无处不有，大到宇宙，
小到基本粒子，无不受到混沌理论的支配。如气候变化，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学甚至是音乐、体育中都存在着混沌现象。因此，科学家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破了不同学科之间的界线，它是涉及系统总体本质的一门新兴综合科学。
18世纪具有彻底牛顿宇宙观的伟大的科学家Laplace（拉普拉斯）
曾经说过：“如果有一位智慧之神，在给定的时刻能够识别出赋予大自然以生机的全部的力和组成万物的个别位置，而且他有足够深邃的睿智能够分析这些数据，那么他将把宇宙中最微小的原子和庞大的天体的运动都包括在一个公式之中，对他来说，没有什么东西是不确定的，未来如同过去那样是完全确定无疑的。”拉普拉斯的“决定论可预测性”的观点在混沌学的大厦前，轰然坍塌。因此，我们更应该在这个充斥着混沌现象的世界里，怀有一颗敬畏的心，并相信：“上帝的确是在掷骰子”。
为了更好地系统地了解混沌学的基本知识，本文接下来将分别从混
沌学的研究历史，混沌现象的举例及其共性，和混沌学的应用及其发展展望三大方面对混沌学进行一次较为系统的介绍。
（一） 混沌学的研究历史
（1）20世纪以前
近代科学由于以研究自然界的秩序和规律为其宗旨，所以数百年来它把混沌现象排除在外。因而，自然界中大量的混沌现象就被科学家遗忘了。而笛卡尔和康德却例外，尽管他们只是把混沌看成浑然一体，混乱不堪的东西，但是他们认为有序的宇宙正是从这样的混沌中发展起来的。在此期间，康德提出了他的“星云假说”，认为“太阳系是有处于混沌状态的原始星云演化而来的”，并指出：“我在把宇宙追溯到最简单的混沌状态以后，没用别的力，而只是用了引力和斥力这两种力来说明大自然的有秩序的发展。”
因此，20世纪以前的混沌学研究还只是处于起步阶段，其中以康德为代表的科学家是考察宇宙从混沌到有序的演化的“先锋军”。他们的研究是人类对混沌现象的最初认识，同时也吹响了人类对“混沌学”进军的号角。
（2）20世纪初至1977年
进入20世纪以后，人们对于混沌学的研究和认识逐渐深入。在此
期间，混沌现象从表观进军到科学之中，打开了混沌学研究的新纪元。
19世纪中期，自然科学家首先在热力学中开始讨论混沌问题。我
们知道，当达到热力学平衡时，系统内部中的每一点的温度、压强、浓度、化学势等均无差别，处处相同，熵极大，即分子的混乱度极高。可见，热力学的平衡态实际上是一种传统意义上的混沌态。与此同时，科学家们还探讨了布朗运动、丁泽尔现象、反应系统中反应基团的无规则碰撞等这些微观状态，发现它们与混沌有关，都是混沌无序的状态。
而现代科学意义上的混沌的发现，则要追溯到19世纪末20世纪初，
庞加莱在研究“三体问题”时遇到的混沌问题。庞加莱发现，与单体问题、二体问题不同，三体问题，如太阳、月亮、地球三者的相对运动是
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无法精确求解的。这个多年来困扰牛顿力学的难题，最终于1903年在庞加莱发表的《科学与方法》一书中得到了较为合理的解释。在此书中，庞加莱提出了著名的“庞加莱猜想”。他创造性地把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上，这是一种“保守系统”中的混沌，从而他成为了世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人。
此后，热力学和统计物理学经历了平衡——近平衡——远离平衡的
发展阶段。在耗散结构理论、协同学的发展初期，侧重于研究系统是如何从混沌到有序的发展，找到了一些系统从混沌到有序发展的机制和条件。即“系统应该是开放的，处于远离平衡态，其内部要有非线性的相互作用，状态的转变则要通过涨落来实现等。据此，普利高津得出了“有序来自混乱”的结论。
而真正对混沌进行过较为严谨的阐述的则是洛伦兹于1963年发表的著名论文《决定论非周期流》。在这篇著名论文中，洛伦兹讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，并给出了三个变量的自治方程，即著名的洛伦兹方程
x=?σ(x?y) y=?xz+rx?y
z=xy?bz
即方程右端不含时间，它是一个完全确定的三阶常微分方程组。方
程中三个参数为σ、r和b，如果b=8/3，σ=10，改变参数r：当r<1时，其解的性质趋于无对流的定态；当r>1时，其解为非周期的，看起来很混乱。这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕。
与此同时，1954年前苏联概率论大师柯尔莫戈洛夫指出近可积的哈密顿（Hamilton）系统的解的性质的一些重要结论。后来到了1962年和1963年分别经过阿诺尔德（Arnold V I）和莫赛尔（Mose J）的证明，在近可积的哈密顿系统中，随机成分是有限的，导致不可积性的扰动项很小，这被称为KAM定理。上面我们已经提到，KAM定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系统，它们分别从不同的角度说明，两类不同的动态系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。从此，对混沌理论的研究便进入了一个新的时期。
1964年法国天文学家伊侬（Henon M）从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列的Henon映射
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xn+1=1+byn?axn
yn+1=xn
该方程组本是一个自由度为2的不可积的哈密顿系统，然而在方程中，当参数b=0.3，且改变参数a时，就发现其系统运动轨道在“相空间”中的分布似乎越来越随机。伊侬得到了一种最简单的吸引子，并用他建立的“热力学崩坍”理论解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。
1971年法国物理学家茹厄勒（Ruell D）和荷兰数学家肯斯（Takens F）为耗散系统引入了“奇怪的吸引子（Strange attractor）”这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，以解释湍流的性质。然而，因为
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