发布时间 : 星期五 文章湖南省湘潭市2016年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析更新完毕开始阅读f34a34e602020740bf1e9b55
（2）根据概率公式直接求解即可求得答案；
（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案．
【解答】解：（1）设D地车票有x张，则x=（x+20+40+30）〓10%， 解得x=10．
即D地车票有10张． 补全统计图如图所示． （2）小胡抽到去A地的概率为=．
（3）不公平． 以列表法说明：
小李掷得数字
小王掷得数字 1 2
3
4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
或者画树状图法说明（如图）
由此可知，共有16种等可能结果．
其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），（3，4）．
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为：
=．
则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1﹣=． ∴这个规则对双方不公平．
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1，4），（【点评】本题考查的是游戏公平性的判断与与条形统计图的知识．注意判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】方法一：
（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标； （2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°． 方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标． （2）利用面积公式求出P点坐标．
（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用黄金法则二求出k的值．
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【解答】方法一：
解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1． 联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1， 解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF ∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣． ∴△ABP面积最大值为
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F， 则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1． 在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=
=
．
，此时点P坐标为（，﹣）．
令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
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则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=． ∴EN=OE﹣ON=﹣．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°， ∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k=〒∵k＞0， ∴k=
．
，
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°， 将C（﹣k，0）代入y=kx+1中， 可得k=1，k=﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1． 综上所述，k=方法二： （1）略．
（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F， 设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）
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或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．
∴S△ABP=（FY﹣PY）（BX﹣AX）， ∴S△ABP=（t+1﹣t2+1）（2+1）， ∴S△ABP=﹣t2+t+3，
当t=时，S△ABP有最大值，∴S△ABP=（3）∵y=x2+（k﹣1）x﹣k， ∴y=（x+k）（x﹣1）， 当y=0时，x1=﹣k，x2=1， ∴C（﹣k，0），D（1，0），
点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0）， ∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ〓KOQ=﹣1， ∴
＜
．
∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解， ∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0， ∴k1=
，k2=﹣
（k＞0故舍去），∴k=
．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．
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