发布时间 : 星期一 文章椭圆典型例题整理教师版更新完毕开始阅读f3527b276294dd88d1d26b4b
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
y2x2
所以椭圆的标准方程是4＋3＝1.
2
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2524
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A?2，0?为长轴端点时，a?2，b?1，
x2y2
x2y2??1； 椭圆的标准方程为：41（2）当A?2，0?为短轴端点时，b?2，a?4， x2y2??1； 椭圆的标准方程为：
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三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
x2y2
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
94
x2y29
解：因为c＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1.由点(－3,2)在椭圆上知2＋
aa－5a22
4xy2
＝1，所以a＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 2
a－51510
2
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB
中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x22解：由题意，设椭圆方程为2?y?1，
a?x?y?1?0?222由?x2，得??1?ax?2ax?0， 2?2?y?1?a1x1?x21?a2?2，yM?1?xM?∴xM?， 21?a2ayMx2112?kOM??2?，∴a?4， ∴?y2?1为所求．
4xMa4五、求椭圆的离心率问题。
例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a2113?2? ∴3c2?a2，∴e?解：?2c?． ?c3331x2y2??1的离心率e?，求k的值． 例 已知椭圆
2k?89 解：当椭圆的焦点在x轴上时，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?当椭圆的焦点在y轴上时，a?9，b?k?8，得c?1?k．
1
2222221，得k?4． 211?k15?，即k??． ，得
29445∴满足条件的k?4或k??．
4由e?
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x2y2x225＋9＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为25y2x2y2
＋9＝1(y≠0)答案：25＋9＝1(y≠0)
x2y2
2．已知椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．
因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.
x2y2
3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面积．
94
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，
11
PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为2PF1·PF2＝2×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
x2?11??y2?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆2?22?分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．
11??解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y??k?x??．代入椭圆方程，并整理得
22??3?1?2k2?x2??2k2?2k?x?1k2?k??0．
222k2?2k由韦达定理得x1?x2?． 21?2k1∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??．
2所以所求直线方程为2x?4y?3?0．
?11?解法二：设过P?，?的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得
?22? 2
?x122?y，①1?1??22?x22② ??y2?1，2?③?x1?x2?1，?④?y1?y2?1.2x12?x22?y12?y2?0． ⑤ ①－②得
21y?y21将③、④代入⑤得1??，即直线的斜率为?．
2x1?x22所求直线方程为2x?4y?3?0．
x2y2
2．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是( )
42A．相交 C．相切
B．相离 D．不确定
x2y2x2y2
解析：∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1
4242相交．
答案：A
x2y2
3.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
m3A. (－∞，0)∪(1，＋∞) B. (1,3)∪(3，＋∞) C. (－∞，－3)∪(－3,0) D. (1,3)
y＝x＋2，??22
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由?xy消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
??m＋3＝1若直线与椭圆有两个公共点，
??3＋m≠0，
则?解得 2
?Δ＝?4m?－4m?3＋m?>0，?
??m≠－3，x2y2?由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m>1且m≠3，故选B.
m3?m<0或m>1.?
答案：B
x2y2
4．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l
32与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标； (2)求△ABF2的周长与面积．
3
x2y2
解：(1)由＋＝1，知a＝3，b＝2，c＝1.
32∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
22xy??3＋2＝1，联立?消去y得5x2＋6x－3＝0.
??y＝x＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则
x1＋x2y1＋y2x1＋1＋x2＋1x1＋x2633232x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，
552522255532
∴中点坐标为M(－，)．
55
|1－0＋1|2
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝22＝＝2，
21＋1832|AB|＝1＋k2， l·?x1＋x2?－4x1x2＝5118346∴S△ABF2＝|AB|d＝××2＝，
2255△ABF2的周长＝4a＝43.
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
22??4x＋y＝1，
解：(1)由?
?y＝x＋m，?
得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 解得－
55≤m≤. 22
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 2m
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
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x1x2＝(m2－1)．
5
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2， ∴d＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2 ＝2?x1－x2?2 ＝2[?x1＋x2?2－4x1x2]
4
＝＝
24m4－?m2－1?? 2??255?
2
10－8m2. 5
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
八、椭圆中的最值问题
x2y2??1的右焦点为F，过点A1例 椭圆，3，点M在椭圆上，当AM?2MF为最小 1612值时，求点M的坐标．
1解：由已知：a?4，c?2．所以e?，右准线l：x?8．
2过A作AQ?l，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ?2MF．显然AM?2MF的最小值为
??AQ，即M为所求点，因此yM?3，且M在椭圆上．故xM?23．所以M23，3．
x2y2
7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．
49解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2
)＝9. 2
??当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立． 故|PF1|·|PF2|的最大值为9. 答案：9
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