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1-1 两班半随机二进过程定义为
X(t)?A或-A,(n－1)T 其中值A与-A等概率出现，T为一正常数，n?0,?1,?2,....... （1）画出典型的样本函数图形； （2）将此过程规类； （3）该过程是确定性过程么？ (λt)k?λteX(t)?C?可1－2 离散随机过程的样本函数皆为常数，即P{K?k}?Pk(0,t)?k!变常数，式中C为一随即变量，其可能值为c1?1,c2?2及c3?3，且他们分别以概率0.6，0.3及0.1出现。（1）X（t）是确定过程么？（2）求：在任意时刻t，X(t)的一维概率密度。 t)=Vt，其中V是在（0，1）是均匀分布的随机变量，求过程X（t）的1－3设随机过程X(均值和自相关函数。 1－4设随机过程X(t)=At+2B，t式中A,B为两个互不相关的随机变量，且有 E[A]=4,E[B]=7,D[A]=0.1,D[B]=2.求过程 X（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。 ?(1－5程X(t)的数学期望E[X(t)]=t+4。求另一随机过程Y(t)=tXt)+t的数学期望。 22t)=Vcos3t ，其中V是均值为1，方差为1的随机变量。设新的随机信号 1－6信号X( Y(t)=1tλ ) d ? λX(0t 求Y（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。 ,Y(t)=B(t)sint 其中A(t)，1－7个随机过程X(t),Y(t)都是非平稳过程 X(t)?A(t)cost B(t)为相互独立，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。试证明这 t)是宽平稳的。 两个过程之和Z(t)?X(t)?Y(1－8设随机信号X(t)?asin(ω0t??)，式中a,ω0均为正的常数；?为正态随机变量，其概率密度为 f?(υ)?1?υ2/2e 2π试讨论X(t)的平稳行。 1－9 已知随机过程X(t)?Acosω0t+ Bsinω0t ，式中ω0为常数；而A与B是具有不同 概率密度，但有相同方差σ，均值为零 的不相关的随机变量。证明X(t)是宽平稳而不是严平稳的随机过程。 1－10 已知两个随机过程 X(t)?Acost?Bsint,Y(t)?Bcost?Asint 其中A，B是均值为0，方差为5的不相关的两个随机变量，试证过程X（t）、Y（t）各自平稳，而且是联合平稳的；并求出他们的互相关系数。 1－11 设随机信号X(t)?acos(t??)，其中a可以是、也可以不是随机变量，（0，?是在2π）上均匀分布的随机变量；并且 a为随机变量时，它与?统计独立。求：（1）时间自相关函数和集自相关函数；（2）a具备什么条件时两种自相关函数相 等。 2int+ Bcost ,其中A、B均为零均值的随机变量。试证：X(t)1－12 设随即过程X(t)?As是均值遍历的，而方差无遍历性。 1－13 设随机过程X(t)?Acos(Qt??) ,式中A、Q和?为统计独立的随机变量；而且，A的均值为2、方差为4，?在 （－π，π）上均匀分布，Q在（－5，5）上均匀分布。试问过程X（t）是否平稳？是否遍历？并求出X（t）的自相关 函数。 1－14 设X（t）是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号是aX(t?τ1),a??1， τ1是信号返回时间，由于接收到的 信号总是伴有噪声的，记噪声为N(t)，故接收机接收到的全信号为 Y(t)?aX(t?τ1)?N(t) (1) 若信号X（t）、N (t) 单独平稳且联合平稳，求互相关函数Rxy(t1,t2)。 (2) 在（1）条件下，假如N(t)的均值为零，且与X（t）是互相独立的，求Rxy(t1,t2)（这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的相关接收法。 1－15 设复随机过程为 Z(t)?Vejω0t, 其中ω0为正常数，V为实随机变量。求复过程Z(t)的自相关函数。 1－16 设复随机过程 Z(t)?ej(ω0t??) 其中ω0为正常数，?是在（0，2π）上均匀分布的随机变量。试求E[z*(t)z(t?τ)]和E[z(t)z(t?τ)]。 1－17 设复随机过程 Z(t)??Aeii?1njωtt 式中Ai(i?1,2....,n)为n个实随机变量，ωi(i?1,2....,n)为n个实数，求证： 1－18 令X(n)和Y(n)为不相关的随机信号，试证：如果 Z(n)?X(m)?Y(n) 则mz?mx?my 及 σz2?σx2?σ2y 1－19 有两个独立且联合平稳的随即序列X（n）和Y（n），它的均值分别是mx和my，方差分别是σx和σy，试证明 220? RXY(m)???R?Y??RX?0? RX(m)?RX1/2,KXY(m?)??K?X?0?KY???0 1/2?0?，KX(m)?KX?0? XnYm?n?)]?0] (E[Xn2])1/2(E[Ym?n2])1/2 [提示：可利用不等式E[(1－20 若正态随机过程X(t)有自相关函数 （1）RX(τ)?6e （2）RX(τ)?6?τ/2 sinπτ πτ 试确定随机变量X(t),X(t?1),X(t?2),X(t?3)的协方差矩阵。 1－21 天气预报问题。如果明日是否有雨仅与今日的天气（是否有雨）有关，而与过去的天气无关。并设今日有雨且明日有雨的 概率为0.7，今日无雨而明日有雨的概率为0.4。另外，假定把“有雨”称作“1”状态天气，而把“无雨”称作“2”状态天 气。则本问题属于一个两状态的马尔可夫链。试求：今日有雨而后日（第二日）无雨，今日有雨而第三日也有雨，今日无雨 而第四日也无雨的概率各是多少？ 1－22 设有三个状态{0.1.2}的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 ?1/21/20??? P??1/41/21/4? ?01/21/2??? 研究此链各状态之间的关系，并画出状态转移图。 1－23 设有两个状态{0.1}的马尔可夫链, 其一步转移概率矩阵为 ?1/21/2? P??? 1/32/3?? 试求：f00(1),f00(2),f00(3),f01(1),f01(2),f01(3)。 1－24 设（齐次）马尔可夫链的一步转移概率矩阵为 ?1/21/31/6??? P??1/31/31/3? ?1/31/21/6??? 试问此链共有几个状态？是否遍历？求它的二步转移概率矩阵。 limpij(n)?pj是否存在？并求之。 n??1－25 随机电报信号X(t)(其样本函数如图所示)满足下述条件： （1） 在任何时刻t， X(t)只能取0或1两个状态。而且，取值为0的概率为1/2， 取值为1的概率也是1/2，即： P{X(t)?0}?1/2,P{X(t)?0}?1/2 （2） 每个状态的持续时间是随机的，若在间隔（0,t）内波形变化的次数K服从泊 松分布，即 (λt)k?λte P{K?k}?Pk(0,t)?k! 式中，λ为单位时间那波形的平均变化次数。 （3） X(t)取任何值与随机变量K互为统计独立，试求随即电报信号X(t)的均值，自相关函数，自协方差函数，功率谱密 度。 X(t) 0 X(t) τ