发布时间 : 星期四 文章力学知识小结及习题答案（下）更新完毕开始阅读f37e5f641ed9ad51f01df24e
?D?2T/(??)?24.16?103/(3.14?0.7?6.0?108)
?3?6.15?10m?6.15mm
8.1.5 ⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=ε(1-2μ)，V0表示原体即，V表示形变后体积. ⑵上式是否适用于压缩？⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.631010Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。
解：⑴设杆原长为l0，矩形截面两边原长分别为a0和b0，据线应变定义：轴向应变
??l?l0l0，横向应变?1?b?b0b0?a?a0a0，所以：
l?(1??)l0,a?(1??1)a0,b?(1??1)b0，由泊松系数定义??|??1|，拉伸时，ε>0,
ε1<0, ∴ε1=-με
V?V0abl?a0b0l0(1??1)a0(1??1)b0(1??)l0?a0b0l0??V0a0b0l0a0b0l0
?(1??1)2(1??)?1?(1???)2(1??)?1?(1?2????2?2)(1??)?1??(1?2?)(略去高级小项) ⑵对于压缩，ε
<0, ε1>0, 仍有ε1=-με成立，因此上式对压缩情况仍然适用
⑶据胡克定律 ??Y?,???/Y
V?V0?(1?2?)1.37(1?2?0.3)?12 ???2.8?1010V0Y19.6?10
8.1.6 ⑴杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 明杆的总伸长量 ?l?FlSY2。⑵杆内应力如上式，试证?(x)?FS??x??2lY x
证明：⑴建立图示坐标o-x，在坐标x处取
一截面S，隔离o、x段杆，由平衡条件，截面 x dx S上的内力 F’=F+γSx ，据应力定义
o F??Sx' ??F F ?FS?SS??x⑵考虑x处的线元dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为dl,据胡克定律，
??Ydl/dx,dl??dx/Y?[F/(YS)??x/Y]dx
积分：
8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积
为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d=0.5cm.当剪切力为F=73105N时，求：⑴钢板中的
?l'lFl?l?Fdl??(YS?Yx)dx??l?YS?2Y
0l2d
切应力，⑵钢板的切应变，⑶与刀口相齐的 两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切 模量N=831010Pa。
解：⑴据切应力定义 ??FS?7?10590?10?4?7.78?107N/m2
7.78?1078?1010⑵据胡克定律，??N?????N??9.7?10?4rad
⑶????l/d??l?d??0.5?9.7?10?4?4.85?10?4cm
8.3.1一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角θ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.6331010Pa，钢的剪切模量为 8.031010Pa
解：设管的半径为R, 管壁厚d，管长为l, 外力矩为M，由于d< θ 认为管壁截面上各处的切应力大小相等，设为τ，在平衡状态下，内、外力矩相等：M??(2?Rd)R,??M/(2?R2d) 据剪切形变的胡克定律：??N?,ψ ???N?M 22?NRd??Ml50?10?R2?NR3d2?3.14?2.65?1010?0.023?0.001 ?0.376rad?50?10?0.124rad 2?3.14?8.0?1010?0.023?0.001?l对于钢管： ?? 8.3.2矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲，各以横截面的长和宽作为高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。 解：设梁衡截面长为2d, 宽为3d，据梁纯弯曲的曲率公式： k?12?/(Ybh3)?1/R,R?Ybh3/(12?) 以2d为梁的高：R1?Y(3d)(2d)/(12?) 以3d为梁的高：R2?Y(2d)(3d)/(12?) 33R13?184?? R22?279 8.3.3 某梁发生纯弯曲，梁长度为L,宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R,材料杨 氏模量为Y,求总形变势能。 解：建立图示坐标o-x, 原点o在中性层。梁的弯曲 R θ 是由不同程度的拉伸压缩形 b 变组成。 在坐标x处，取一体元 dv=bLdx ，其应变??0(R?x)??R?R?x x x ?R2x21其形变势能密度 Ep?1 2Y??2Y(R)x其形变势能 dEp?12Y(R)bLdx?2YbL2R2x2dx. 在整个梁中积分，即得到整个梁的形变势能 bLEp?Y2R2?h/2?h/2Lbh x2dx?Y24R23 第九章基本知识小结 ⒈物体在线性回复力F = - kx，或线性回复力矩τ= - cυ作用下的运动就是简谐振动， d2x2??x?0,其动力学方程为 02dt（x表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m，单 摆：ω02=g/l，扭摆：ω02=C/I. ⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv；振幅A和初相α由初始条件决定。 ⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子， 221。 Ek?Ep?12kA?2m?0A2⒋两个简谐振动的合成 分振动特点 方向相同，频率相同 合振动特点 与分振动频率相同的简谐振动 Δα=±2nπ 合振幅最大 Δα=±(2n+1)π 合振幅最小 方向相同，频率不同，频率成整数比 方向相同，频率不同，频不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数 出现拍现象，拍频等于分振动频率之率较高，又非常接近 方向垂直，频率相同 差 运动轨迹一般为椭圆 Δα=±2nπ 简谐振动（ⅠⅢ象限） Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限) 方向垂直，频率不同，频率成整数比 利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关 d2xdx2?2???x?0。 ⒌阻尼振动的动力学方程为 02dtdt其运动学方程分三种情况： ⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性， x?Ae??tcos(?'t??),?'??0??2，对数减缩 = βT’. ⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。 ⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置 2d2xdx2?2????t； ⒍受迫振动动力学方程 0x?f0cosdtdt2其稳定解为 x?A0cos(?t??)，ω是驱动力的频率，A0和υ也不是由初始条件决定,A0?f0/(?0??)?4?? tg???222222???02??2 当???0?2?时，发生位移共振。 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。 解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽 22