发布时间 : 星期五 文章力学知识小结及习题答案（下）更新完毕开始阅读f37e5f641ed9ad51f01df24e
9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的1/3，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）
解：对于弱阻尼振动：x?Ae??tcos(?'t??),?'2??0??2 由题意 Ae??t2/Ae??(t?T')?3，两边取对数得 ?T'?ln3,T'?ln3?.
?'?2?/T'?2??/ln3,?0??'2??2??(2?/ln3)2?1
(2?/ln3)2?1?2?/ln3?0??'???1.49%
2?0(2?/ln3)?1
9.6.2 阻尼振动起初振幅A0=3cm，经过t=10s后振幅变为A1=1cm，问经过多长时间，振幅将变为A2=0.3cm?（弱阻尼状态）
解：弱阻尼状态运动学方程为：x?Ae??tcos(?'t??)
0?t?0,A0?A?3;t?10,A1?Ae?10??1,?lnAA1?ln3?10?，
??ln3/10.
设t=t2时，振幅变为 A2?Ae??t2A0?0.3,lnA?ln03.3??t2 2∴t2?ln10/??10ln10/ln3?21.0s
9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率。 解：∵tg???2???02??2，υ即为受迫振动与驱动力的相差，υ=0，
tgυ=0,而β为有限值，∴ω→0.
第十章波动基本知识小结
x⒈平面简谐波方程 y?Aco?s(t?V)?Acos?(t?kx)；
?T?2?,k??2?,v?1/T,V??v。
⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速V?N/?，弹性体中纵波的
波速V?Y/?，流体中纵波波速V?k/?，绳波波速V?T/?。
⒊波的平均能量密度
2222，波的平均能流密度 I?1。 ??12??AV2??A⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密
媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。
⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。
⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程
?y?2Acos2?xcos?t；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；
相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，相邻波腹波节间距离为λ/4。
⒎多普勒公式：v'?V?V0V?VSv，在运用此公式时，以波速V为正方向，从而确定V0、VS
的正负。
10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0oC时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。
解：?V?v?,???V/v,.5 ?1?V/v1?33120?16.58m?2?V/v2?331.5/20?16.58?10?3m
?
10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m，频率为1483Hz，在20oC的水中传播，写出
其波方程。
解：查表可知，波在20oC的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：
xy?Acos2?v(t?V)?0.001cos(2966?t?2?x)
10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？
解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为
xtxy?Acos?(t?V)?Acos2?(T??)?10?3cos2?(100t?x)
???2?(100t?9)?2?(100t?10)?2?
10.2.4 写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。
解：设波源振动方程为y?Acos(?t??). ∵t=0时，y?Acos??0,u?dydt ???Asin??0,?????2xx?∴波方程y?Acos[2?v(t?V )??2]?Acos[2?f(t?C)?2]
10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为
y?Acos(bt?cx),A,b,c均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波长；⑵写出在传播方向
上距波源l处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？
解：⑴将y?Acos(bt?cx)与标准形式y?Acos(?t?kx)比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v=ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v=2π/c.
⑵令x=l, 则y?Acos(bt?cl)，此质点振动初相为 – cl.
10.2.6 一平面简谐波逆x轴传播，波方程为
xy?Acos2?v(t?V?3),试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。
x解：令t’=t+3,则y?Acos2?v(t'?V)，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最
简形式。
x310.2.7 平面简谐波方程y?5cos2?(t?4)，试用两种方法画出t?5s时的波形图
（SI）。
解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, λ=v/v=4
33x12 ?4)?5cos?t?5s时，y?5cos2?(52(x?5)方法一：令x'?x?12，先画出y?5cos?的波形图，然后将y轴右移12即可。 52x'5方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。
y' y
x(m)
tx10.2.8 对于平面简谐波S?rcos2?(T??)中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,画出x=0.20m
处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。
txt解：波方程S?rcos2 ?(T??)?0.01cos2?(12?0x.3)t.2?⑴令x=0.20，S?0.01cos2；令t'=t-8,根据T=12s及余?(12?00.3)?0.01cos6(t?8)弦曲线的规律，先画出S'?0.01cos?的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t曲6t'线。
S (m) S’
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) - 0.01
3x3⑵令t=3, S?0.01cos2= ?(12?0x.3)?0.01cos2?(0.3?12)333.令x'?x?40，根据??0.3?4?400.01cos20m及余弦曲线的规律，先画出3?(x?40)的S’-x’曲线，再把S’轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。 S'?0.01cos203?x' S(m) S’ 0.01 x(3/40m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ?3 t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移612?0.3?340m，即1个单位，就是t=6s
时的波形图（虚线所示）。
10.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及ξ1,ξ2,ξ3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x2和ξ2只要求说明其相位在第几像限）
y y v v x2
x x x1 x3 ξ1 ξ2 ξ3
xx解：根据y?Acos?(t?V),u???Asin?(t?V)及波形图随时间t的移动方向，可
做出如下判断： x1 x2 负 负 x3 0 ξ1 正最大 ξ2 负 正 ξ3 0 正最大 位移 正最大 速度 0 负最大 0 相位 0或2π Ⅱ像限 π/2 0或2π Ⅲ像限 -π/2 10.2.10 图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。
解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a），原点处质元t=0时， y=A,可判断其初相为零.比较 y/m v （a）、（b）两图,（b）图可看 2 作（a）图向右移动0.5m得到。 0 1 2 x/m ∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. -2 ω=2πV/λ=2π30.25/2=0.25π 图（a）